Формулы сокращенного умножения с примерами

Доказательство формул сокращенного умножения

1. \( {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\).Возвести выражение в квадрат — значит умножить его само на себя:\( {{\left( a+b \right)}^{2}}=\left( a+b \right)\left( a+b \right)\).Раскроем скобки и приведем подобные:

\( {{\left( a+b \right)}^{2}}=\left( a+b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}+\underline{ab}+\underline{ba}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\).2. \( {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\).Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:\( {{\left( a-b \right)}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a-b \right)={{a}^{2}}-\underline{ab}-\underline{ba}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\).

3. \( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\).Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:\( \left( a-b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}+\underline{ab}-\underline{ba}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\).

4. \( {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\).Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:\( \displaystyle {{\left( a+b \right)}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{2}}\cdot \left( a+b \right)=\underbrace{\left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \right)}_{квадрат\ суммы}\left( a+b \right)=\)\( \displaystyle={{a}^{3}}+\underline{{{a}^{2}}b}+\underline{2{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{2a{{b}^{2}}}}+\underline{\underline{{{b}^{2}}a}}+{{b}^{3}}=\)\( \displaystyle={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)5. \( \displaystyle {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)Аналогично:\( \displaystyle {{\left( a-b \right)}^{3}}={{\left( a-b \right)}^{2}}\cdot \left( a-b \right)=\underbrace{\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)}_{\text{квадрат}\ \ разности}\left( a-b \right)=\)\( \displaystyle {{a}^{3}}-\underline{{{a}^{2}}b}-\underline{2{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{2a{{b}^{2}}}}+\underline{\underline{{{b}^{2}}a}}-{{b}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)В разности кубов знаки чередуются.6. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\).Раскроем скобки в правой части:\( \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)={{a}^{3}}-\underline{{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{a{{b}^{2}}}}+\underline{{{a}^{2}}b}-\underline{\underline{a{{b}^{2}}}}+{{b}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}\).

Историческая справка

Некоторые правила сокращённого умножения 
были известны ещё около 4 тыс. лет 
тому назад. Их знали вавилоняне и 
другие народы древности. Тогда они 
формулировались словесно или геометрически.

У древних греков величины обозначались
не числами или буквами, а отрезками 
прямых. Они говорили не «a2», а
«квадрат на отрезке а», не «ab», а «прямоугольник,
содержащийся между отрезками a и b».

Например, тождество (a+b)2=a2+2ab+b2

Во второй книге «Начал» Евклида
(III век до н.э.) формулировалось так:

Если прямая линия (имеется  в виду отрезок) как-либо рассечена, то
квадрат на всей прямой равен квадратам
на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником,
заключённым между отрезками».

Доказательство опиралось на геометрические
соображения:

Некоторые термины такого геометрического 
изложения алгебры сохранились 
до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом,
а третью степень — кубом числа.

Выделение полного квадрата

Часто в многочлене второй степени содержится квадрат суммы или разности, но содержится в скрытом виде. Чтобы получить полный квадрат в явном виде, нужно преобразовать многочлен. Для этого, как правило, одно из слагаемых многочлена представляется в виде удвоенного произведения, а затем к многочлену прибавляется и из него вычитается одно и то же число.

Пример 7. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили в виде удвоенного произведения на , прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число , далее применили формулу квадрата суммы для двучлена , далее применили формулу квадрата суммы для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число плюс число .

Пример 8. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Проведём над ним следующие преобразования:

.

Здесь мы представили в виде удвоенного произведения на , прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число , применили формулу квадрата разности для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число .

Группа формул: сумма степеней

Группа формул «Сумма степеней» составляет Таблицу 2. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)2 = (x + y)(x + y) ,(x + y)3 = (x + y)2(x + y) ,(x + y)4 = (x + y)3(x + y)

Группу формул «сумма степеней» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

Таблица 2. – Сумма степеней

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень)суммы	(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Куб (третья степень) суммы	(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Четвертая степень суммы	(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Пятая степень суммы	(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
Шестая степень суммы	(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6

Общая формула для вычисления суммы

(x + y)n

с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Примеры задач для 7−8 класса

В заключение разберём и решим два задания на применение формул сокращённого умножения по алгебре. Если вы новичек, то лучше всего начать играть без настоящих ставок. Однако если уже вы решились, то найти интернет казино вулкан с выводом на реальные деньги можно с помощью рейтингов или же обратившись за советом к более опытным гемблерам. В принципе можно попробовать метод проб и ошибок, но это будет сложнее и дольше.

Задача 1. Упростить выражение:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m — 1) — 2m (5m + 3).

Решение. В условии задания требуется упростить выражение, т. е. раскрыть скобки, выполнить действия умножения и возведения в степень, а также привести все подобные слагаемые. Условно разделим выражение на три части (по числу слагаемых) и поочерёдно раскроем скобки, применяя ФСУ там, где это возможно.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9 (квадрат суммы),
• (3m + 1)(3m — 1) = 9m² 1 (разность квадратов),
• В последнем слагаемом необходимо выполнить перемножение: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

(m² + 6m + 9) + (9m² 1) — (10m² + 6m).

С учётом знаков раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 — 10m² 6m = 8.

Задача 2. Решить уравнение, содержащее неизвестное k в 5 степени:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ 4k² 4k = k³.

Решение. В этом случае необходимо воспользоваться ФСУ и методом группировки. Нужно перенести последнее и предпоследнее слагаемое в правую часть тождества.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Из правой и из левой части выносится общий множитель (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Всё переносится в левую часть уравнения, чтобы в правой остался 0:

k³(k² + 4k + 4) — k (k² + 4k + 4) = 0.

Снова необходимо вынести общий множитель:

(k³ k)(k² + 4k + 4) = 0.

Из первого полученного сомножителя можно вынести k. По формуле краткого умножения второй множитель будет тождественно равен (k + 2)²:

k (k² 1)(k + 2)² = 0.

Использование формулы разности квадратов:

k (k — 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Поскольку произведение равно 0, если хотя бы один из его множителей нулевой, найти все корни уравнения не составит труда:

1. k = 0,
2. k — 1 = 0, k = 1,
3. k + 1 = 0, k = -1,
4. (k + 2)² = 0, k = -2.

На основании наглядных примеров можно понять, как запомнить формулы, их отличия, а также решить несколько практических задач с применением ФСУ. Задачи простые, и при их выполнении не должно возникнуть никаких сложностей.

Решение различных типовых задач на применение формул квадрата суммы и разности

Пе­рей­дем к ре­ше­нию урав­не­ний:

При­мер 10:

;

;

;

;

;

.

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния нужно упро­стить левую часть, при­ме­няя фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов и квад­ра­та раз­но­сти, после этого при­ве­сти по­доб­ные члены. После этого пе­ре­не­сти все неиз­вест­ные в левую часть, а сво­бод­ный член в пра­вую и ре­шить эле­мен­тар­ное ли­ней­ное урав­не­ние.

При­мер 11:

Вы­чис­лить: .

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го при­ме­ра нужно при­ме­нить фор­му­лы раз­но­сти квад­ра­тов и квад­ра­та суммы, после этого со­кра­тить по­лу­чен­ную дробь.

При­мер 12:

До­ка­зать ра­вен­ство:

.

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли :

.

Из каж­до­го мно­жи­те­ля вы­не­сем минус еди­ни­цу за скоб­ки:

.

Мы до­ка­за­ли ра­вен­ство (a — b)2 = (b — a)2.

Дан­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся очень по­лез­ным при упро­ще­нии вы­ра­же­ний. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 13:

Раз­ло­жить на мно­жи­те­ли: .

При­мер 14:

До­ка­жи­те, что квад­рат вся­ко­го нечет­но­го числа, умень­шен­ный на еди­ни­цу, де­лит­ся на во­семь.

Пред­ста­вим про­из­воль­ное нечет­ное число как , а его квад­рат, со­от­вет­ствен­но, как . За­пи­шем вы­ра­же­ние со­глас­но усло­вию:

.

Упро­стим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние:

.

Чтобы до­ка­зать, что по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние крат­но вось­ми, нам нужно до­ка­зать, что оно де­лит­ся на 2 и на 4. Оче­вид­но, что вы­ра­же­ние крат­но че­ты­рем, так как в нем есть мно­жи­тель 4. По­это­му нам нужно до­ка­зать, что  де­лит­ся на 2.

За­пись  – это про­из­ве­де­ние двух по­сле­до­ва­тель­ных чисел, а оно все­гда крат­но двум, так как из двух по­сле­до­ва­тель­ных чисел одно все­гда будет чет­ным, а вто­рое, со­от­вет­ствен­но, нечет­ным, а про­из­ве­де­ние чет­но­го числа на нечет­ное крат­но двум, зна­чит, вы­ра­же­ние  крат­но вось­ми. Итак, мы до­ка­за­ли, что квад­рат вся­ко­го нечет­но­го числа, умень­шен­ный на еди­ни­цу, де­лит­ся на во­семь.

Фсу – формулы сокращённого умножения по алгебре за 7 класс с примерами

Основная задача формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращённого умножения

Квадрат суммы		Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разности		Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
Куб суммы		Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе.
Куб разности		Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов		Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы.
Сумма кубов		Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
Разность кубов		Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений

Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение:  = x .

Шаг второй. Теперь и выносим за скобки: x + x .

Шаг третий. Раскрываем скобки: x + x + x + x .

Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: x + x + .

Шаг пятый. Упрощаем выражение: .

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

• Задание
• Упростите выражение:
• Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.
• Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

1. x x +
2. Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:
3. + x x +
4. В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2

• Задание
• Упростите выражение
• Решение
• = – x x + =

Пример 3

1. Задание
2. Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен
3. Решение
4. Здесь квадраты выражений – и
5. Выражения, которые возводились в квадрат – и
6. Удвоенное произведение этих выражений – , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит,

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
2. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
3. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

Вспомогательная информация

Именно сумма сразу двух геометрических кубов получила большой спрос в алгебре для кардинального упрощения многочленов. Лучше всего рассматривать конкретные примеры, которые относятся к категории сложных уравнений. Без наставлений учителя решать такие задачи при помощи универсального тригонометрического аппарата будет крайне сложно, особенно для неподготовленного школьника.

Грубые ошибки допускают те, кто плохо знаком со свойствами синусов и косинусов. На помощь может прийти правило суммы двух кубов, так как все описанные примеры максимально повторяют разложение на отдельные множители выражения a 2 + b 2. Но в этом случае вместо а — sinx, а b заменил cosy.

Если следовать правилам, то многоуровневое тригонометрическое выражение может легко превратиться в лаконичную запись, где sin3x + cos3y. После этого остаётся применить эту универсальную формулу во время подсчёта. Многие люди практически на память знают все квадраты к используемым в повседневной жизни натуральным числам до пятнадцати. А ученики, которые занимаются арифметикой на постоянной основе, владеют большим количеством квадратов. Гораздо сложнее работать с кубами. Если по условиям задачи нужно посчитать сумму двух таких кубов, то гораздо практичнее и быстрее применить формулу разложения на отдельные множители.

В качестве примера можно посчитать следующее выражение: 153 -123. Без предварительной подготовки вычислить кубы этих чисел просто невозможно (если ученик не посещает специальный математический кружок). Лучше всего прибегнуть к следующей формуле: 15 3 + 12 3 = (15 + 12) x (15 2−15×12 + 12 2). Дополнительно все действия можно проверить при помощи калькулятора. В кубе 15 даёт число 3375, а вот 12 — это 1728. Если всё просуммировать (3375+1728), то в итоге получим 5103. Ранее полученный результат оказался правильным, но работать с меньшими числами гораздо проще и удобнее.

Формулы сокращенного умножения

При выполнении различных алгебраических преобразований встречаются часто некоторые частные случаи умножения. Получающиеся при этом произведения полезно запомнить наизусть, чтобы в дальнейшем, когда эти случаи встретятся, можно было сразу написать результат, не производя каждый раз почленного умножения. Равенства, выражающие эти частные случаи умножения, называются формулами сокращенного умножения.

1. Квадрат суммы. Возведем в квадрат сумму двух чисел a и b.

(a + b)2 = (a+b)(a+b) = a2 + ab + ab + b2

Приведя подобные члены получим:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Эту формулу следует запомнить как в приведенной записи, так и в словесном выражении.

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Примеры:
1)

(3a + 2b)2 = (3a)2 + 2 * 3a * 2b + (2b)2 = 9a2 + 12ab + 4b2.

Следует приобрести навык писать сразу окончательный результат, не проводя промежуточной записи, которая показана в этом примере.

2) Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного больших «круглого» числа, например:

412 = (40 + 1)2 = 402 + 2 * 40 * 1 + 12 = 1681;
322 = (30 + 2)2 = 302 + 2 * 2 * 30 + 22 = 900 + 120 + 4 = 1024.

3) Особенно легко запомнить прием возведения в квадрат чисел, оканчивающихся пятеркой. Положим, число имеет a десятков и 5 единиц. Тогда его можно записать так:

10a + 5.

Возведем это число в квадрат по формуле:

(10a + 5)2 = 100a2 + 2 * 5 * 10a + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25.

Полученное выражение показывает, что для возведения в квадрат числа, оканчивающегося пятеркой, надо число его десятков умножить на число, единицей большее, и к произведению приписать 25. Например:

652 = 6 * 7 * 100 + 25 = 4225;
852 = 8 * 9 (сотен) + 25 = 7225;
3,52 = 3 * 4 + 0,25 = 12,25.

Последний пример можно записать так:
Значит, чтобы возвести в квадрат смешанное число, дробная которого равна , достаточно целую часть умножить на число, единицей большее, и к произведению прибавить .2. Квадрат разности.

(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2.(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Эта формула отличается от ранее выделенной формулы только знаком среднего члена. Поэтому часто пишут сразу обе формулы так:Примеры:

1)

(4a2b – ab)2 = 16a4b2 – 8a2b * ab + a2b2 = 16a4b2 – 8a3b2 + a2b2.

И здесь следует стараться написать сразу результат, производя промежуточные вычисления в уме.

2) Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного меньших «круглого» числа, например:

392 = (40 – 1)2 = 402 – 2 * 40 + 1 = 1521;
482 = (50 – 2)2 = 2500 – 2 * 2 * 50 + 4 = 2304;
792 = (80 – 1)2 = 6400 – 160 + 1 = 6241.

3. Произведение суммы двух чисел на их разность.

(a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2.(a + b)(a – b) = a2 – b2.

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Примеры.

1) (5a + 2b)(5a – 2b) = 25a2 – 4b2.

2) (2a2 + 3b3)(2a2 – 3b3) = 4a4 – 9b6.

3) Эта формула применяется при устном умножении двух чисел, из которых одно на несколько единиц больше «круглого» числа, на сколько другое меньше его, например: 47 и 53, 68 и 72.

47 * 53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2491;
68 * 72 = 702 – 4 = 4896;
33 * 27 = 900 – 9 = 891.

4) Но иногда бывает полезно поступить наоборот: для вычисления разности квадратов двух чисел заменить эту разность произведением суммы оснований на их разность, например:

1022 — 1012 = (102 – 101)(102 + 101) = 203;
542 — 462 = (54 – 46)(54 + 46) = 800;

4. Куб суммы.

(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3;(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа.

Примеры.

1) (2a + 3b)3 = 8a3 + 3 * 4a2 * 3b + 3 * 2a * 9b2 + 27b3 = 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3.

2) 113 = 103 + 3 * 102 + 3 * 10 + 1 = 1331.

5. Куб разности.

(a – b)3 = (a – b)2(a – b) = (a2 – 2ab + b2)(a – b).

Произведя умножение и приведя подобные члены, получим:

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа.

Примеры.
1) (x – 2)3 = x3 – 6×2 + 12x – 8.
2) (3a – 2b)3 = 27a3 – 54a2b + 36ab2 – 8b3.

Ответы@Mail.Ru: а^2+b^2=(a-b)(a+b)????

a^2 + b^2= a^2 + 2*a*b + b^2

Выражение справа — разность квадратов.
a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)

это тождество
исходим из правой части равенства
(a-b)(a+b)=a^2-ab+ab-b^2(сокращаем -ab и +ab(получится 0))
остается a^2-b^2 а не a^2 + b^2

сумма квадратов на произведение НЕ раскладывается.
( a + b )² = a² + 2ab + b² ,
( a – b )² = a² – 2ab + b² ,
( a + b ) ( a – b ) = a² – b²,
( a + b )³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ ,
( a – b )³ = a ³ – 3a² b + 3ab² – b³ ,
( a + b )( a² – ab + b² ) = a³ + b³ ,
( a – b )( a ² + ab + b² ) = a³ – b³

a^2+b^2=a^2+ab-ab-b^2
a^2+b^2=a^2-b^2
2*b^2=0

a^2+b^2=a^2+ab-ab-b^2
a^2+b^2=a^2-b^2
2*b^2=0

я токое незнаю

а^2+b^2=(a+b)^2-2ab и только так) )
(a-b)(a+b)=a^2-b^2

да формулы сокращённого умножения

нет, это не правильно,
ТОЛЬКО: a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)
обрати внимание на минус между квадратами a и b

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y)2.

Выражение (2x + 3y)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)

(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4×2 + 6xy + 6xy + 9y2 = 4×2 + 12xy + 9y2

То есть выражение (2x + 3y)2 равно 4×2 + 12xy + 9y2

(2x + 3y)2 = 4×2 + 12xy + 9y2

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a + b)2

Выражение (a + b)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

Выполним это умножение:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

То есть выражение (a + b)2 равно a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Оказывается, что случай (a + b)2 можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y)2 можно решить с помощью тождества (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y)2. В данном случае переменной a соответствует член 2x, а переменной b соответствует член 3y

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = 4×2 + 12xy + 9y2

Как и в прошлый раз получили многочлен 4×2 + 12xy + 9y2. Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x + 3y)2 = 4×2 + 12xy + 9y2

Тождество (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2 + 3)2. Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2 + 3)2 = 52 = 25

Второй способ:

(2 + 3)2 = 22 + 2 × 2 × 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25

Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3)2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(5a + 3)2 = (5a)2 + 2 × 5a × 3 + 32 = 25a2 + 30a + 9

Значит, (5a + 3)2 = 25a2 + 30a + 9.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

(5a + 3)2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a2 + 15a + 15a + 9 = 25a2 + 30a + 9

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a2. Если увеличить сторону квадрата на b, то площадь будет равна (a + b)2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b. У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b, то остальные стороны тоже увеличатся на b

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a2. Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab. Затем можно вычислить квадрат со стороной b

В результате получается следующая сумма площадей:

a2 + ab + ab + b2

Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab, которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab». Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab. В результате получается выражение a2 + 2ab + b2, которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Заключение

Из дополнительной литературы я узнал,
что с ФСУ мы вряд ли когда-нибудь расстанемся.
Мы будем их использовать при решении
уравнений, сокращении дробей и различных
доказательств. Вот какие они важные и
нужные.

ФСУ позволяют быстро и красиво 
решать многие задачи и примеры.

           ПОЭТОМУ ИХ НУЖНО ПРОСТО ЗНАТЬ НАИЗУСТЬ!

Для лучшего запоминания можно
предложить следующие способы:

• • • повесить листок с ФСУ на место, которое попадается нам на глаза чаще всего (на компьютере, на телевизоре, на двери, на потолке над кроватью и т. д.);
    • сделать список ФСУ обложкой дневника;
    • инсценировать формулы;
    • вместо алгебраических символов использовать забавные символы (будет смешно и легко запомнится).

Например:

Но работая над рефератом, я 
понял, что мало просто знать наизусть
формулы сокращенного умножения. Надо еще научиться видеть в конкретном
алгебраическом выражении эту формулу.