Формулы треугольника, формулы для расчета площади и периметра треугольника

Что такое треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.

Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).

Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.

Шаги

1
По трем данным сторонам

1
Для нахождения периметра используйте формулу:
Р = a + b + c, где a, b, c – длины трех сторон, Р – периметр.
2
Найдите длины всех трех сторон.

Это равносторонний треугольник, так как все три стороны имеют одинаковую длину. Но вышеуказанная формула применяется к любому треугольнику.

В нашем примере: a = 5, b = 5, с = 5.
3
Сложите длины всех трех сторон, чтобы найти периметр.

Другой пример: a = 4, b = 3, с = 5. Р = 3 + 4 + 5 = 12.

В нашем примере: 5 + 5 + 5 = 15, то есть Р = 15.
4
В ответе не забывайте указывать единицу измерения.

В нашем примере каждая сторона равна 5 см, поэтому окончательный ответ: Р = 15 см.

В нашем примере стороны измеряются в сантиметрах, поэтому ваш окончательный ответ также должен включать сантиметры (или единицы измерения, указанные в условии задачи).

2
По двум данным сторонам прямоугольного треугольника

1
Вспомните теорему Пифагора.
Эта теорема описывает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника и является одной из наиболее известных и применяемых теорем математики. Теорема гласит, что в любом прямоугольном треугольнике стороны связаны следующим соотношением: a 2 + b 2 = c 2 , где а, b – катеты, с – гипотенуза.
2
Нарисуйте треугольник и обозначьте стороны как a, b, c.
Самая длинная сторона прямоугольного треугольника – это гипотенуза. Она лежит напротив прямого угла. Обозначьте гипотенузу как «с». Катеты (стороны, прилежащие к прямому углу) обозначьте как «a» и «b».
3
Подставьте значения известных сторон в теорему Пифагора (a 2 + b 2 = c 2).
Вместо букв подставьте числа, данные в условии задачи.
- Например, а = 3 и b = 4. Подставьте эти значения в теорему Пифагора: 3 2 + 4 2 = c 2 .
- Другой пример: а = 6 и с = 10. Тогда: 6 2 + b 2 = 10 2
4
Решите полученное уравнение, чтобы найти неизвестную сторону.
Для этого сначала возведите в квадрат известные длины сторон (просто умножьте данное вам число само на себя). Если вы ищете гипотенузу, сложите квадраты двух сторон и из полученной суммы извлеките квадратный корень. Если вы ищете катет, вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и из полученного частного извлеките квадратный корень.
- В первом примере: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c 2 ; 25= c 2 ; √25 = с. Таким образом, c = 25.
- Во втором примере: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. Перенесите 36 на правую сторону уравнения и получите: b 2 = 64; b = √64. Таким образом, b = 8.
5
- В нашем первом примере: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- В нашем втором примере: P = 6 + 8 + 10 = 24.

3
По двум данным сторонам и углу между ними

1
Любую сторону треугольника можно найти по теореме косинусов, если вам даны две стороны и угол между ними.
Эта теорема применяется к любым треугольникам и является очень полезной формулой. Теорема косинусов: c 2 = a 2 + b 2 — 2abcos(C), где a, b, c – стороны треугольника, А, B, С – углы, противолежащие соответствующим сторонам треугольника.
2
Нарисуйте треугольник и обозначьте стороны как a, b, c; обозначьте противолежащие соответствующим сторонам углы как A, B, C (то есть угол, противолежащий стороне «а», обозначьте как «А» и так далее).
3
Подставьте данные вам значения в формулу и найдите неизвестную сторону «с».
Сначала возведите в квадрат длины известных сторон и сложите полученные значения. Затем найдите косинус угла С (с помощью калькулятора или онлайн-калькулятора). Умножьте длины известных сторон на косинус данного угла и на 2 (2abcos(C)). Полученное значение вычтите из суммы квадратов двух сторон (a 2 + b 2), и вы получите c 2 . Из этой величины извлеките квадратный корень, чтобы найти длину неизвестной стороны «с». В нашем примере:
- c 2 = 10 2 + 12 2 — 2 × 10 × 12 × cos(97)
- c 2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)
- c 2 = 244 – (-29,25)
- c 2 = 244 + 29,25
- c 2 = 273,25
- c = 16,53
4
Сложите длины трех сторон, чтобы найти периметр.

В нашем примере: Р = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.

Напомним, что периметр вычисляется по формуле: P = a + b + c.

Периметр — это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.

В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.

Возможные методы:

известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.

Как вычислить периметр

Периметр обозначается латинской буквой P. Его можно измерить в сантиметрах, миллиметрах, метрах или дециметрах. Чтобы узнать периметр, следует измерить длину всех сторон многоугольника. Полученные значения нужно сложить. Итоговая сумма и станет ответом на вопрос: «Чему равен периметр многоугольника».

Периметр – это длина линий, которые ограничивают замкнутую фигуру (квадрат, прямоугольник, треугольник и др.).

Например, перед вами многоугольник со сторонами 10, 12, 13 и 11 см. Складываем вышеназванные числа (10+12+13+11) и получаем сумму 46. Это и есть периметр многоугольника.

Для удобства вычисления периметра в геометрии существует ряд формул. Каждая формула соответствует определенной фигуре.

Формулы площади треугольника

Пояснения к формулам: a, b, c — длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти r — радиус вписанной в треугольник окружности R — радиус описанной вокруг треугольника окружности h — высота треугольника, опущенная на сторону p — полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра) α — угол, противолежащий стороне a треугольника β — угол, противолежащий стороне b треугольника γ — угол, противолежащий стороне c треугольника h_a,h_b_, h_c— высота треугольника, опущенная на сторону a, b, c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2 ) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)

Формула Герона (6) — это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула
Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин, которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин

Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

См. также площадь равнобедренного треугольника.

Примечание. Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет — пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа «квадратный корень» может применяться функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Таблица квадратов

В жизни часто приходиться находить площади различных квадратов. Для этого каждый раз требуется возводить исходное число во вторую степень.

Квадраты первых 99 натуральных чисел уже вычислены и занесены в специальную таблицу, называемую таблицей квадратов.

Первая строка данной таблицы (цифры от 0 до 9) это единицы исходного числа, а первый столбец (цифры от 1 до 9) это десятки исходного числа.

Например, найдём квадрат числа 24 по данной таблице. Число 24 состоит из цифр 2 и 4. Точнее, число 24 состоит из двух десятков и четырёх единиц.

Итак, выбираем цифру 2 в первом столбце таблицы (столбце десятков), а цифру 4 выбираем в первой строке (строке единиц). Затем, двигаясь вправо от цифры 2 и вниз от цифры 4, найдём точку пересечения. В результате окажемся на позиции, где располагается число 576. Значит, квадрат числа 24 есть число 576

242 = 576

Третий метод: по двум граням и углу между ними

В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов
.

Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 — (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c — стандартно длины граней, а A,B и С — это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A — угол, противолежащий стороне a и так далее.

Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.

Все, что нужно сделать в данном случае — это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень — это будет третья, неизвестная до этого сторона.

После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.

P=a+b+c
Как найти периметр треугольника:
Всем известно, что периметр найти проще простого – надо всего лишь сложить все три стороны треугольника. Однако существует несколько других способов, с помощью которых можно найти сумму длин сторон треугольника.
1 шаг
При известных радиусе вписанной в треугольник окружности и его площади найти периметр по формуле P=2S/r.
2 шаг
Если ты знаешь два угла, например, α и β, прилежащих к стороне, и длину этой стороны, то для нахождения периметра используй формулу а+sinα∙а/(sin(180°-α-β)) + sinβ∙а/(sin(180°-α-β)).
3 шаг
Если в условии указаны смежные стороны и угол β между ними, при нахождении периметра учитывай теорему косинусов. Тогда P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), где a^2 и b^2 – квадраты длин смежных сторон. Выражение под корнем – длина третьей неизвестной стороны, выраженная через теорему косинусов.
4шаг
Для равнобедренного треугольника формула периметра принимает вид P=2a+b, где а – боковые стороны, а b – его основание.
5 шаг
Периметр правильного треугольника рассчитай по формуле P=3a.
6 шаг
Найди периметр с помощью радиусов вписанных в треугольник или описанных около него окружностей. Так, для равностороннего треугольника помни и используй формулу P=6r√3=3R√3, где r – радиус вписанной окружности, а R – радиус описанной окружности.
7 шаг
Для равнобедренного треугольника примени формулу P=2R(2sinα+sinβ), в которой α – угол при основании, а β – угол, противолежащий основанию.

Равнобедренная трапеция

Формула для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у первого есть две равные стороны.

P = a + b + 2 * c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.

Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.

L = d * π = 2 * r * π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Можно выучить все формулы, а можно, запомнив определение о сумме всех сторон, каждый раз проявлять смекалку и вычислять самостоятельно. Давайте потренируемся, как определять периметр фигур!

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока.
Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна
S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов. Он будет равен корню из трех на два.
S = 15 √3 / 2

Ответ: 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Периметры фигур. Периметр треугольника.

имеет ту же размерность величин, что и длина.

буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, общая формула:

Формула периметра треугольника для треугольника АВС:

Периметр равностороннего треугольника.

Чтобы найти периметр равностороннего треугольника (или найти периметр правильного

треугольника), нужно знать его сторону.

В общем случае для нахождения периметра треугольника используют формулу:

Поскольку в равностороннем треугольнике все три стороны равны, формула упрощается:

Таким образом, периметр равностороннего треугольника находится по такой формуле:

где а — длина его стороны.

Периметр равнобедренного треугольника.

Чтобы найти периметр равнобедренного треугольника, нужно знать всего две его стороны — основание

Поскольку у равнобедренного треугольника две стороны равны (боковые), найти периметр

равнобедренного треугольника можно по такой формуле:

То есть, периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин основания и

Площадь квадрата

Квадрат это тот же прямоугольник, но у которого все стороны равны. Например, на следующем рисунке представлен квадрат со стороной 3 см. Фраза «квадрат со стороной 3 см» означает, что все стороны равны 3 см

Площадь квадрата вычисляется таким же образом, как и площадь прямоугольника — длину умножают на ширину.

Вычислим площадь квадрата со стороной 3 см. Умножим длину 3 см на ширину 3 см

3 × 3 = 9

В данном случае требовалось узнать сколько квадратов со стороной 1 см содержится в исходном квадрате. В исходном квадрате содержится девять квадратов со стороной 1 см. Действительно, так оно и есть. Квадрат со стороной 1 см, входит в исходный квадрат девять раз:

Умножив длину на ширину, мы получили выражение 3 × 3, а это есть произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен 3. Иными словами выражение 3 × 3 представляет собой вторую степень числа 3. А значит процесс вычисления площади квадрата можно записать в виде степени 32.

Поэтому вторую степень числа называют квадратом числа. При вычислении второй степени числа a, человек тем самым находит площадь квадрата со стороной a. Операцию возведения числа во вторую степень по другому называют возведением в квадрат.

Как найти периметр и площадь треугольника

21 апреля 2011

Автор КакПросто!

Казалось бы, что может быть проще, чем вычисление площади и периметра треугольника – измерил стороны, поставил цифры в формулу – и все. Если вы так считаете, значит, забыли, что для этих целей существует не две простенькие формулы, а гораздо больше – для каждого вида треугольника – своя.

Инструкция

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, измерьте длины его катетов (сторон, прилежащих к прямому углу). Умножьте эти значения, а результат разделите на два.

Видео по теме

Обратите внимание

Формула Герона — универсальная для нахождения площади треугольника.

Полезный совет

Периметр треугольника находится суммой всех сторон. Для нахождения площади существует несколько разных формул.

Как найти периметр и площадь треугольника
найти площадь треугольника 4 класс
Периметр равностороннего треугольника равен 18 900 мм

Совет полезен?

Не получили ответ на свой вопрос?Спросите нашего эксперта:

Площадь квадрата

Определение.

Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.

Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

Формулы определения площади квадрата

1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:

S = 2

2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:

S =	P2
16

3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:

S =	2
2

4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:

S = 2R2

5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:

S =	D_o2
2

6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:

S = 42

7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:

S = D_в2

8. Формула площади квадрата через длину отрезка :

S = 2	16
√5

Что необходимо знать о квадрате?

Прежде чем приступать к проведению вычислений, необходимо знать некоторые важные сведения об этой фигуре, среди которых:

все стороны квадрата равны;
все углы квадрата прямые;
площадь квадрата – это способ исчисления того, как много места занимает фигура в двухмерном пространстве;
двухмерное пространство – это лист бумаги или экран компьютера, где нарисован квадрат;
периметр не является индикатором наполненности фигуры, однако позволяет работать с его сторонами;
периметр – это сумма всех сторон квадрата;
подсчитывая периметр, мы оперируем одномерным пространством, что означает фиксацию результата в метрах, а не метрах квадратных (площадь).

Нахождение периметра многоугольника

Определение

Многоугольник – это геометрическая фигура, которая со всех сторон ограничена ломанной линией.

Характеристики:

Название многоугольника определяется количеством его вершин. Если у многоугольника количество вершин равно n, то он называется n-угольником.
Многоугольником являются такие фигуры, как: квадрат, ромб, параллелограмм и т.д.
Если углы с отрезками равны, то это правильный многоугольник.

Многоугольник

Чтобы найти периметр n-угольника, нужно сложить всего длины его сторон:

А для правильного n-угольника можно выделить еще одну формулу, потому как его стороны равны:

P = na

Здесь мы умножаем длину одной стороны на n.

Пример 1

Найдите периметр правильного многоугольника, если у него 5 вершин, а длина его одной стороны равна 7.

Решение:

Здесь воспользуемся этой формулой:

P = na

7 × 5 = 35 (см)

Ответ: периметр многоугольника равняется 35 см.

Периметр геометрической фигуры

Периметр геометрической фигуры — это сумма всех её сторон. Чтобы вычислить периметр, нужно измерить каждую сторону и сложить результаты измерений.

Вычислим периметр следующей фигуры:

Это прямоугольник. Детальнее мы поговорим об этой фигуре позже. Сейчас просто вычислим периметр этого прямоугольника. Длина его равна 9 см, а ширина 4 см.

У прямоугольника противоположные стороны равны. Это видно на рисунке. Если длина равна 9 см, а ширина равна 4 см, то противоположные стороны будут равны 9 см и 4 см соответственно:

Найдём периметр. Для этого сложим все стороны. Складывать их можно в любом порядке, поскольку от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Периметр часто обозначается заглавной латинской буквой P (англ. perimeters). Тогда получим:

P = 9 см + 4 см + 9 см + 4 см = 26 см.

Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны, нахождение периметра записывают короче — складывают длину и ширину, и умножают её на 2, что будет означать «повторить длину и ширину два раза»

P = 2 × (9 + 4) = 18 + 8 = 26 см.

Квадрат это тот же прямоугольник, но у которого все стороны равны. Например, найдём периметр квадрата со стороной 5 см. Фразу «со стороной 5 см» нужно понимать как «длина каждой стороны квадрата равна 5 см»

Чтобы вычислить периметр, сложим все стороны:

P = 5 см + 5 см + 5 см + 5 см = 20 см

Но поскольку все стороны равны, вычисление периметра можно записать в виде произведения. Сторона квадрата равна 5 см, и таких сторон 4. Тогда эту сторону, равную 5 см нужно повторить 4 раза

P = 5 см × 4 = 20 см

Известны радиус описанной окружности и периметр

Треугольник называется описанным вокруг окружности, если его стороны соприкасаются с кругом, а сам он находится снаружи. Площадь треугольника определяется как половина произведения периметра треугольника и радиуса описанной окружности.

Треугольник, вписанный в окружность

Формула:

где r – радиус описанной окружности, a, b, c – стороны треугольника.

Расчет:

Определяется периметр треугольника как сумма всех его сторон.
Умножается величина радиуса описанной окружности на величину периметра треугольника.
Полученный результат делится пополам.

Знание формул вычисления площади треугольника поможет при определении площади объемных фигур, в основе граней которых лежат треугольные фигуры, таких, как например, пирамида.