Десятичные дроби
Мы уже упоминали, что дроби могут быть как дробными, так и десятичными. До сих пор мы изучали несколько вопросов о дробях. Мы узнали, что дроби могут быть обычными и неправильными. Мы также узнали, что дроби можно уменьшать, прибавлять, отнимать, умножать и делить. Мы также узнали, что существуют смешанные числа, состоящие из целых и дробных частей.
Мы не до конца изучили фракции. Есть много более светлых оттенков и деталей, о которых нам нужно поговорить, но сегодня мы начинаем изучать дробные дроби, потому что нам нужно объединить целые десятичные и дробные дроби. Другими словами, если у вас есть проблема, вам нужно использовать оба типа дробей.
Этот урок может показаться сложным и запутанным. Это совершенно нормально. Этот тип урока необходимо исследовать, а не просто обойти.
Что дальше?
Хотите узнать самые быстрые и простые способы конвертировать градусы Фаренгейта в градусы Цельсия? Мы вас прикрыли! Ознакомьтесь с нашим руководством по лучшим способам преобразования Цельсия в градусы Фаренгейта (или наоборот).
Вы изучаете логарифмы и натуральные логарифмы на уроках математики? У нас есть руководство по всем правила естественного журнала ты должен знать.
Знаете ли вы, что вода имеет особую плотность? Ознакомьтесь с нашим руководством, чтобы узнать какая плотность воды и как может измениться плотность.
Есть друзья, которым тоже нужна помощь в подготовке к экзаменам?
Необходимость и алгоритм преобразования
В первую очередь, выделение целой части повышает удобство чтения записанных нецелых чисел и позволяет лучше понимать их значение. Это можно оценить на простом примере: \(\frac{12}5=2\frac25\). Можно пойти дальше и перевести смешанное число в десятичную дробь: \(2\frac25=2,4\).
При решении задач зачастую необходимо преобразовать смешанные числа в дробные, так как с ними проще проводить вычисления.
Как перевести смешанное число в неправильную дробь
Чтобы записать смешанное число в форме неправильной дроби необходимо выполнить два действия: умножить целую часть на знаменатель и прибавить полученный результат к числителю.
Пример:
\(4\frac78=\frac{4\cdot8+7}8=\frac{32+7}8=\frac{39}8\)
Этот упрощенный способ преобразования работает на том принципе, что любое целое число можно представить в виде произведения этого числа на единицу. Единицу же в свою очередь можно представить в виде дроби, где числитель равен знаменателю. Разберем предыдущий пример более подробно:
\(4\frac78=4+\frac78=4\cdot1+\frac78=4\cdot\frac88+\frac78=\frac{32}8+\frac78=\frac{39}8\)
Как выделить из неправильной дроби целую часть
Обратное преобразование работает на принципе, согласно которому, при делении двух некратных друг другу чисел, делимое можно представить в виде суммы кратного делителю числа и некоего остатка. В качестве примера возьмем число из предыдущего пункта:
\(\frac{39}8=\frac{32}8+\frac78=4+\frac78=4\frac78\)
В этом преобразовании можно пойти дальше и представить смешанное число в виде десятичной дроби. Для этого целая часть отделяется запятой, а операция деления продолжается с остатком, умноженным на 10. Само деление продолжается до тех пор, пока остаток не окажется равен нулю.
\(4\frac78=4,0+\frac{7\cdot10}8=4,0+\left(\frac{64}8+\frac68\right)=4,8+\frac{6\cdot10}8=4,8+\left(\frac{56}8+\frac48\right)=4,87+\frac{40}8=4,875\)
Действия с десятичными дробями
Десятичные дроби – это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить.
Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит твоя оценка на экзамене. Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению
Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению.
Как складывать десятичные дроби
При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.
Разберемся на примере:
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставится четко на том же месте, как и в складываемых числах.
Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Если при сложении в сумме мы получаем больше \( 10\), то одна единица прибавляется к сумме при сложении цифр следующего разряда.
Решим наш пример, учтя все правила:
Разобрался? Посчитай в столбик самостоятельно:
- \( 0,0125+0,141\)
- \( 2,4225+0,34\)
- \( 122,4355+1,34\)
- \( 2,435+12,3\)
Сравним ответы:
- \( 0,0125+0,141=0,1535\)
- \( 2,4225+0,34=2,7625\)
- \( 122,4355+1,34=123,7755\)
- \( 2,435+12,3=14,735\)
Арифметические действия с десятичными дробями
Сложение и вычитание десятичных дробей
Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:
- уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
- записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
- выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;
- поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.
Умножение десятичных дробей
При умножении десятичных дробей сначала нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести запятую влево на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.
Деление десятичных дробей
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:
- разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
- поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части;
- если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, нужно перенести влево запятую в этой дроби на сколько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе.
Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:
- в делимом и делителе перенести запятую вправо на сколько цифр, сколько их после запятой в делителе;
- выполнить деление на натуральное число.
Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (т. е. умножить дробь на 10, 100, 1000, …).
Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби
Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс преобразования десятичной дроби в обычный процент. Сформулируйте правило преобразования, состоящее из трех шагов. Как преобразовать десятичные дроби в дробные?
Правила преобразования десятичных дробей в дробные.
- В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
- В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
- При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь.
Рассмотрим применение этого правила на примере.
Пример 8.Преобразование дробных дробей в десятичные дроби
Преобразуйте 3,025 в дробь.
- В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025 .
- В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля — именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 3025 1000 .
- Полученную дробь 3025 1000 можно сократить на 25, в результате чего мы получим: 3025 1000 = 121 40 .
Переведите десятичные дроби 0 и 0017 из десятичной системы счисления в обычную.
- В числителе запишем дробь 0, 0017, отбросив запятую и нули слева. Получится 17 .
- В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 17 10000. Данная дробь несократима.
Если в дробной дроби есть целое число, то дробь можно сразу преобразовать в смешанное число. Как это может произойти?
Давайте сформулируем другое правило.
Правило преобразования десятичной дроби в смешанное число.
- Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
- В числителе записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
- В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.
Пример 10.Преобразование дробных дробей в смешанные числа
Пусть 155 и 06005 представлены в виде смешанных чисел.
- Записываем число 155, как целую часть.
- В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.
- В знаменателе записываем единицу и пять нулей
Возьмите смешанное число: 155,6005,100000.
Дробная часть может быть уменьшена на 5. Уменьшите его и получите конечный результат.
155, 06005 = 155 1201 20000
Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби
Рассмотрим пример дроби, преобразованной в повторяющуюся десятичную дробь. Прежде чем начать, давайте заявим, что каждая дробь может быть преобразована в обычную дробь.
В простейшем случае период дроби равен нулю. Дробь с нулевым периодом заменяется десятью десятичными знаками, и процесс преобразования таких дробей возвращается к преобразованию конечных дробей.
Пример 11.Преобразование дробных дробей в обычные дробные дроби
Преобразуйте периодическую дробь 3, 75 (0).
Используя нули справа, вы получите конечную десятичную дробь 3, 75.
Следуя алгоритму, описанному в предыдущем пункте, преобразуя эту дробь в обычную дробь, получаем
3, 75 (0) = 3, 75 = 375 100 = 15 4.
Что произойдет, если дробный период будет ненулевым? Периодические фракции следует рассматривать как сумму условий для сокращения геометрической прогрессии. Давайте проиллюстрируем это на примере.
Десятичные дроби — подробнее
Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, \( \displaystyle \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\frac{5}{112}\).
Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби \( \displaystyle \frac{8}{10},\ \frac{13}{100},\frac{49}{1000}\) и т.д.
Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:
\( \displaystyle \frac{8}{10}=0,8\)\( \displaystyle \frac{13}{100}=0,13\)\( \displaystyle \frac{49}{1000}=0,049\)Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:
Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:
Это огромное число читается по следующему алгоритму:
- Сначала читается число, стоящее до запятой и добавляется слово «целых»: ««\( 46\) целых»;
- Затем читается как обыкновенное число слева после запятой и добавляется слово, обозначающее название самой последней цифры. В нашем случае – «одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные».
А теперь прочитаем все вместе – «\( 46\) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!
Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат \( 10\) на \( 10\) и закрась какую-нибудь его часть равную:
- \( 0,05;\)
- \( 0,4;\)
- \( 0,27;\)
- \( 0,245\)
Справился? Проверяем, что у тебя получилось.
Во-первых, квадрат \( 10\) на \( 10\) состоит из \( 100\) клеточек. Соответственно, \( 0.05\) – \( 5\) клеточек из \( 100\); \( 0,4\) – \( 40\) клеточек из \( 100\) и так далее.
Наверняка, наибольшее затруднение составило последнее число – \( -0,245\). На картинке это необходимо отразить как 24,5 клетки.
В общем, смотри:
С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.
Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно
Попробуй перевести:
- \( 0,136\)
- \( 0,2436\)
- \( 0,0456\)
- \( 0,21\)
Сравним ответы:
- \( \displaystyle 0,136=\frac{136}{1000}\)
- \( \displaystyle 0,2436=\frac{2436}{10000}\)
- \( \displaystyle 0,0456=\frac{456}{10000}\)
- \( \displaystyle 0,21=\frac{21}{100}\)
Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?
Попробуй свои силы на вот этих дробях:
- \( \displaystyle \frac{2}{10}\)
- \( \displaystyle \frac{3}{100}\)
- \( \displaystyle \frac{4}{1000}\)
- \( \displaystyle \frac{4562}{100}\)
А вот и ответы:
- \( \displaystyle \frac{2}{10}=0,2\)
- \( \displaystyle \frac{3}{100}=0,03\)
- \( \displaystyle \frac{4}{1000}=0,004\)
- \( \displaystyle \frac{4562}{100}=45\frac{62}{100}=45,62\)
Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.
- Смотрим на дробь и определяем, есть ли у нее целая часть? Если есть, выделяем целую часть, записываем ее, и ставим запятую.
- После запятой должно быть столько знаков, сколько нулей стоит в знаменателе. Например, дробь \( \displaystyle \frac{4}{1000}\) — \( 3\) нуля в знаменателе, соответственно, мы как бы мысленно выделяем \( 3\) ячейки.
- Затем записываем числитель – \( 4\), но выравниваем его по правому краю, а в пустые ячейки вставляем нули.
Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:
Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:
- \( \displaystyle \frac{26}{10}\)
- \( \displaystyle \frac{43}{100}\)
- \( \displaystyle \frac{99}{1000}\)
- \( \displaystyle \frac{3562}{100}\)
А теперь ответы:
- \( \displaystyle \frac{26}{10}=2,6\)
- \( \displaystyle \frac{43}{100}=0,43\)
- \( \displaystyle \frac{99}{1000}=0,099\)
- \( \displaystyle \frac{3562}{100}=35,62\)
Перевести обычную дробь в десятичную возможно несколькими способами
После того, как стало понятно, какие дроби можно переводить из обычных в десятичные, можно приступить, собственно, к самому преобразованию. На самом деле, нет ничего сверхсложного, даже для того, у кого школьная программа окончательно «выветрилась» из памяти.
Как переводить дроби в десятичные: наиболее простой метод
Этот способ перевода обычной дроби в десятичную, действительно, является наиболее простым, однако многие люди даже не догадываются о его бренном существовании, так как в школе все эти «прописные истины» кажутся ненужными и не очень-то важными. Между тем, разобраться сможет не только взрослый, но легко воспримет подобную информацию и ребенок.
Итак, чтобы преобразовать дробь в десятичную, нужно умножить числитель, равно как и знаменатель, на одно число. Однако все не так просто, так в результате, именно в знаменателе должно получиться 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 и так далее, до бесконечности. Не стоит забывать предварительно проверить, точно ли можно данную дробь превратить в десятичную.
Рассмотрим примеры:
Допустим, нам нужно провести преобразование дроби 6/20 в десятичную. Производим проверку:
После того, как мы убедились, что перевести дробь в десятичную дробь, да еще и конечную, все же, возможно, так как ее знаменатель легко раскладывается на двоечки и пятерки, следует приступить к самому переводу. Самым лучшим вариантом, по логике вещей, чтобы умножить знаменатель и получить результат 100, является 5, так как 20х5=100.
Можно рассмотреть дополнительный пример, для наглядности:
Второй и боле популярный способ переводить дроби в десятичные
Второй вариант несколько сложнее, однако он пользуется большей популярностью, ввиду того, что он гораздо проще для понимания. Тут все прозрачно и ясно, потому давайте сразу же перейдем к вычислениям.
Стоит запомнить
Для того, что правильно преобразовать простую, то есть обычную дробь в ее десятичный эквивалент, нужно числитель разделить на знаменатель. По сути, дробь – это и есть деление, с этим не поспоришь.
Рассмотрим действие на примере:
Итак, первым делом, чтобы перевести дробь 78/200 в десятичную, нужно ее числитель, то есть число 78, разделить на знаменатель 200. Но первым делом, что должно войти в привычку, нужно произвести проверку, о которой уже говорилось выше.
После произведения проверки, нужно вспомнить школу и делить числитель на знаменатель «уголком» или «столбиком».
Как видите, все предельно просто, и семи пядей во лбу, чтобы легко решать подобные задачки вовсе быть не требуется. Для простоты и удобства приведем также и таблицу самых популярных дробей, которые просто запомнить, и даже не прилагать усилий, чтобы их переводить.
Десятичные дроби — коротко о главном
1. Определение
2. Конечная и бесконечная десятичная дробь
Десятичная дробь может быть:
- конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (\( \displaystyle \frac{8}{10},\ \frac{13}{100},\frac{49}{1000}\));
- бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (\( 0,05882352941…\));
- периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (\( \displaystyle \frac{1}{7}=0,\underbrace{142857}_{{период}}\underbrace{142857}_{период}142…=0,\left( 142857 \right)\))
3. Свойства десятичных дробей
- Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули \( \displaystyle \frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000\)и т.д.;
- Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: \( 0,014330000=0,01433\);
- Десятичная дробь возрастает в \( 10\), \( 100\), \( 1000\) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо: \( 0,0125\cdot 100=1,25\) (перенесли запятую на \( 2\) знака вправо – умножили на \( 100\) и дробь возросла в \( 100\) раз);
- Десятичная дробь уменьшается в \( 10\), \( 100\), \( 1000\) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево: \( 124,56:100=1,2456\) (перенесли запятую на \( 2\) знака влево – разделили на \( 100\) и дробь уменьшилась в \( 100\) раз).
4. Сложение десятичных дробей
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.
5. Вычитание десятичных дробей
Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:
6. Умножение десятичных дробей
Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа
При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее
Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.
7. Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число
- Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
- Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Деление десятичных дробей друг на друга
Перевод десятичной дроби в обыкновенную и наоборот: правило, примеры
Рекомендуется переводить обычные пропорции в десятичные дроби и наоборот, используя удобный расчет. О том, как это сделать, рассказывается в этой статье. Мы рассмотрим правила преобразования дробей в десятичные дроби и наоборот и приведем примеры.
Рассмотрите преобразование дробей в десятичные числа в соответствии с определенным порядком. Сначала мы обсудим, как переводить обычные дроби со знаменателями 10, 100 и 1000. На самом деле, дроби с такими знаменателями сложнее описать как десятичные числа.
Далее мы рассмотрим, как переводить дроби, общие для десятичных чисел, в знаменатели, а также кратные 10
Обратите внимание, что при переводе обычных дробей в десятичные числа вы получаете не только конечные десятичные числа, но и неопытные обычные дробные числа
Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби
Прежде всего, скажем, что перед преобразованием дробей в десятичные числа требуется некоторая подготовка. Что это такое? Количество цифр в числителе равно количеству нулей в знаменателе, потому что нули нужно добавить перед числителем. Например, добавьте нули в числитель слева от 3100 и 3. Согласно приведенному выше правилу, к дроби 610 не требуется прибавлять.
Давайте рассмотрим другой пример. Далее, давайте создадим правило, которое чаще всего используется на более позднем этапе, когда ни у кого нет опыта фрагментации. Например, 1610000 становится 001510000 после добавления нулей в числитель.
Как преобразовать нормальные пропорции, такие как 10, 100 или 1000 знаменателей? с дробными дробями?
Правила преобразования обычных правильных дробей в десятичные дробные числа
- Записываем 0 и ставим после него запятую.
- Записываем число из числителя, которое получилось после дописывания нулей.
Теперь перейдем к примерам.
Пример 1.Преобразование обычных дробей в десятичные дроби
39 Преобразуйте обычную дробь 100 в десятичную дробь.
При рассмотрении дробей сначала не требуется никаких подготовительных действий — количество цифр в числителе будет соответствовать количеству нулей в знаменателе.
Следуя правилам, напишите 0, затем поставьте десятичную дробь и напишите число из числителя. Вы получаете десятичные 0 и 39.
Давайте рассмотрим еще один пример решения на ту же тему.
Пример 2. Преобразование обычных дробей в десятичные дроби
105 10000000 записывается как десятичная точка.
В знаменателе семь нулей, а в числителе только три цифры. Добавьте четыре нуля к числителю перед числом.
Затем напишите 0, затем установите десятичную дробь и напишите число из числителя. Вы получаете десятичный 0, 0000105.
Дроби, рассмотренные во всех примерах, обычно являются правильными дробями. Но как заменить неправильные дроби на десятичные? Сразу скажем, что для таких дробей нет необходимости готовить нули. Давайте сформулируем правило.
Правила преобразования обычных неправильных дробей в десятичные дроби.
- Записываем число, которое находится в числителе.
- Десятичной запятой отделяем столько цифр справа, сколько нулей есть в знаменателе исходной обыкновенной дроби.
Это пример использования правила.
Свойства десятичных дробей
Существует четыре свойства десятичных дробей. Они очень простые, и ты 100% знаешь о всех них, но давай их перечислим и вспомним:
1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули
\( \displaystyle \frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000\)и т.д.
2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби:
3. Десятичная дробь возрастает в \( 10\), \( 100\), \( 1000\) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:
\( 0,0125\cdot 100=1,25\) (перенесли запятую на \( 2\) знака вправо – умножили на \( 100\) и дробь возросла в \( 100\) раз)
4. Десятичная дробь уменьшается в \( 10\), \( 100\), \( 1000\) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:
\( 124,56:100=1,2456\) (перенесли запятую на \( 2\) знака влево – разделили на \( 100\) и дробь уменьшилась в \( 100\) раз)
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную
Не будем придумывать велосипед. По сути, алгоритм превращения десятичной дроби в обыкновенную противоположен тем, что мы разобрали в предыдущей части. Вот, как это выглядит в обратную сторону:
- Перепишем исходную дробь в новый вид: в числитель поставим исходную десятичную дробь, а в знаменатель — единицу:
- 0,35 = 0,35/1
- 2,34 = 2,34/1
- Умножим числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а у знаменателя соответственно добавляются нули. На примере легче:
- 0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
- 2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
- А теперь сокращаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им числа:
- 0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, еще раз делим на 2, получаем итоговый ответ 3/10.
- 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.
Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!
|
Еще алгоритм: как преобразовать десятичную дробь в обыкновенную
|
Вот и всё! Эта схема значительно проще и быстрее. Проверим:
Как видим, в дроби 0,55 после запятой стоит две цифры — 5 и 5. Поэтому n = 2. Если убрать запятую и нули слева, то получим число 55. Переходим ко второму шагу: 10n = 102 = 100, поэтому в знаменателе стоит 100. Остается сократить числитель и знаменатель. Вот и ответ: 11/20.
Преобразования «на слух»
Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.
А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.
Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:
\
Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому
\
А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому
\
В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 103, а 10 = 2 ∙ 5, поэтому
\
Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.
На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «Переход от обыкновенной дроби к десятичной».
- Сравнение дробей
- Периодические десятичные дроби
- Тригонометрические функции
- Что такое числовая дробь
- Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы
- Более сложные задачи на производительность
Как перевести проценты в десятичную дробь: нет ничего проще
Вот наконец дошел ход и до процентов, которые, оказывается, как гласит все та же, школьная программа, можно перевести в десятичную дробь. Причем тут все будет еще гораздо проще, и пугаться не стоит. Справятся с задачей даже те, кто не заканчивал университеты, а пятый класс школы вовсе прогулял и ничего не смыслит в математике.
Начать, пожалуй, нужно с определения, то есть разобраться, что такое, собственно, проценты. Процент – это одна сотая часть от какого-либо числа, то есть, абсолютно произвольно. От сотни, к примеру, это будет единица и так далее.
Таким образом, чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно попросту убрать значок %, а потом разделить само число на сотню.
Рассмотрим примеры:
Причем, чтобы произвести обратную «конвертацию», нужно попросту сделать все наоборот, то есть, число нужно умножить на сотню и приписать к нему значок процента. Точно таким же образом, посредством применения полученных знаний, можно также и обычную дробь перевести в проценты. Для этого достаточно будет просто сперва преобразовать обычную дробь в десятичную, а потому уже ее перевести в проценты, а также легко можно произвести и обратное действие. Как видите, ничего сверхсложного нет, все это элементарные знания, которые просто необходимо держать в уме, в особенности, если имеете дело с цифрами.
Что делать с целой частью
На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.
Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:
\
Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:
\
Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:
\
В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)
В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.
Определение периодической дроби
Периодические дроби — это бесконечные десятичные дроби, в которых определенная группа чисел повторяется периодически, начиная с определенного момента времени.
Периодическая часть дроби — это набор повторяющихся цифр, составляющих значащую часть.
В сокращенном обозначении периодических дробей повторяющиеся цифры записываются в скобках и называются периодом дроби. Например, вместо 1,555 напишите 1, (5), что означает «одна целая и пять точек».
Значительная часть остатка, которая не повторяется, называется ациклической дробью.
Виды периодических дробей: чистые и смешанные.
Чисто десятичные журналы — это десятичные цифры с точкой сразу после десятичной цифры. Примеры: 1, (4); 4, (25); 21, (693).
Десятичные журналы — это десятичные цифры с партией, за которой следует запись с периодом из одной или нескольких цифр. Например, 3,5 (1) — 0,02 (89) — 7,0 (123).
Давайте рассмотрим несколько примеров дробей, чтобы научиться распознавать части и периоды.
Без журнала: 0 — Журнальная часть: 3 — Продолжительность периода: 1.
Читать следующим образом: ноль три стороны периода.
Без журнала: 0.58 — Части журнала: 3 — Продолжительность: 1 раз.
Читайте так: нулевая партия 58 см и три точки.
Без журнала: 1, Части журнала: 54, Продолжительность: 2.
Читать следующим образом: одна точка на 54 см.
25/39 = 0.641025 641025. = 0, (641025)
Без журнала: 0 — Журнальные части: 641025 — Продолжительность периода: 6.
Читайте следующим образом:Нулевая партия Шесть1400 — Периоды от 1 до 22 миллионов.
54 см за период.
Без журнала: 3066 — Части журнала: 6 — Продолжительность периода: 1.
Читать далее: 360 партий и шесть партий.
Выражение величин в дробном виде
Иногда полезно показать что-то в долях. Например, одна десятая часть десятичного измерения описывается как
Это представление означает, что 15 метров разделены на 10 равных частей и части этих 10 частей. В этом случае одна часть от десяти равна одному сантиметру.
Рассмотрим следующий пример. Предположим, что только 6 см и еще 3 мм нужно выразить в виде дробей.
Таким образом, уже есть 6 см.
Однако остается еще 3 мм. Как бы вы отобразили эти 3 мм, но в сантиметрах? Дробные дроби будут как бы спасать ситуацию. Один сантиметр равен 10 миллиметрам. Три миллиметра — это три части от десяти. Все три части десяти записываются как CM.
Формула CM означает, что один сантиметр делится на десять равных частей и из этих десяти частей берутся три части.
Следовательно, существует шесть сантиметров и три десятых сантиметра.
Число 6 показывает количество целых чисел и дробей дробей. Эта дробь обозначается «шесть целых и три десятых».
Дроби 10, 100 или 1000 могут быть записаны без знаменателя. Запишите сначала целое число, затем числитель дробной части. Целое число отделяется от дробной части запятой.
Например, напишите без знаменателя. Сначала напишите целое число. Целое число равно 6.
Целое число записано. Сразу после написания неотъемлемой части, партии.
А теперь запишите числитель дробной части. В смешанных числах числитель дробной части равен 3. Напишите 3 после вечеринки.
Все числа, представленные в такой форме, называются дробными десятичными дробями.
Поэтому вы можете использовать диаграмму десятичных точек для отображения сантиметров 6 см и далее 3 мм.
Внешний вид:.
На практике десятичные дроби ничем не отличаются от обычных дробей и смешанных чисел. Особенность этих дробей в том, что в знаменателе их дробной части стоят числа 10, 100, 1000 или 10000.
Как и смешанные числа, дробные дроби имеют как целую, так и дробную часть. Например, в смешанном числе целое число равно 6, а дробная часть равна 6.
В десятичной дроби 6,3 целое число равно 6, а дробная часть является числителем дроби, то есть числом 3.
Дробь также образуется без целых чисел и с числовыми значениями 10, 100 и 1000 в знаменателе. Например, дробь дается без целого числа. Чтобы записать такую дробь в виде десятичной дроби, напишите сначала 0, затем партицию, а затем числовую часть дроби. Дроби без знаменателей записываются следующим образом.
‘Нулевое целое число, пять знаков после запятой’, которое гласит.
