Почему чаще выпадает орел?

Сила традиций

Традиция определять, где на монете решка, а где орел, не изменилась и в советское время. «Орлом» в обиходе называли ту сторону монеты, где находится герб страны, несмотря на то, что на гербе СССР орел отсутствовал. Вместо двуглавой птицы герб Страны Советов украшал чеканный земной шар.

Обратная же сторона монеты — реверс, или решка. Считается, что слово «решка» произошло от слов решето или решетка, с которыми был схож вензель царских инициалов, украшавших реверс монеты.

В эпоху царствования Елизаветы Петровны, в 1757 году, появились медные монеты с вензелем из первых букв имени-отчества императрицы, там же отмечен год чеканки.

Общий рисунок реверса, наполненный декоративными элементами, воспринимался большинством населения как решетка, поэтому в то время нетрудно было понять, где на монете решка, а где орел.

На фото ниже изображены 10 золотых рублей 1763 года, на реверсе (решка) — четыре короны Екатерины Второй (4 царства), на аверсе (орел) — портрет правительницы.

Современная аукционная цена этой тяжелой монеты составляет более 26 млн рублей, хотя вес металла в сегодняшних ценах не дороже 46 тыс. рублей.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A₁, или событие A₂, или событие A₃, или событие A₄, или событие A₅.

Примеров масса:

• Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие B₁,2 = B₁ + B₂ (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.

Событие B_Ч = B₂ + B₄ + B₆ (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A₁A₂A₃ … A₁₀ подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A₁, и событие A₂, и событие A₃,…, и событие A₁₀.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

• A₁ — на 1-й монете выпадет орел;

Ā₁ — на 1-й монете выпадет решка;

A₂ — на 2-й монете выпадет орел;

Ā₂ — на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:

• событие A₁A₁ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;

событие Ā₂Ā₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;

событие A₁Ā₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;

событие Ā₁A₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Номинал найденной монеты

Найденная монета в определенных местах, может положительным образом повлиять на судьбу человека. Особенно если она обнаружена орлом вверх

Чтобы еще более точно толковать поверье, необходимо обратить внимание на номинал находки:

1. Мелкие монеты — предвещают новый жизненный этап, который будет разниться от предыдущего великими свершениями. Возможны в любой сфере, на учебе, на работе в бизнесе.
2. Номинал 10-25 — говорит, что ваша жизнь идет своим чередом, все в пределах стандартных норм. Проблема заключается в том, что человек обычно перестает стремиться и хотеть большего, а довольствуется чем есть. Развитие остается на одном месте. Поэтому поверье — знак, который говорит, что есть еще потенциал, который необходимо использовать для личного блага.
3. Номинал 50 и больше — человек должен испытывать чувство удовлетворенности. Такая находка будет напоминать, что жадность плохое чувство, которое негативно сказывается на человеке. Всего должно быть в меру, излишества не приведут к добру. Поэтому деньги необходимо зарабатывать ради глобальной цели, а не чтобы потешить свое самолюбие.

Игра для простаков

На практике букмекер изменяет ставки в зависимости от суммы поставленных денег. Ставки на признанного фаворита будут постепенно снижаться, чтобы сократить выплаты в случае его победы. В то же время ставки на заведомых «слабаков» будут повышаться, чтобы подстегнуть игроков. В конечном счете, выигрывает букмекер, а игроки остаются в проигрыше.

На первых порах Британская национальная лотерея подвергалась суровой критике из-за совершенно ничтожных шансов выиграть главный приз — примерно 14 миллионов к одному. Однако ее успеху во многом содействовала сама величина главного приза и тот факт, что немалая часть денег, внесенных за билеты, идет на благотворительные цели.

Решение задач на эксперимент с равновероятными исходами

В таких задачах чаще всего требуется найти вероятность того или иного события. Делается это по очень простой и интуитивно понятной формуле:

\(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\) , где \(P(A)\) – вероятность события \(A\)
                             \(n\) – количество исходов, удовлетворяющих событию \(A\)
                             \(N\) – общее количество исходов в эксперименте

Непонятна формула? Хорошо, давайте на конкретных примерах.

Пример (ОГЭ). Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало не меньше \(5\) очков. Ответ округлите до сотых.

Решение: Рассуждаем – какие могут быть элементарные исходы в эксперименте «бросок кубика»? Ну, достаточно очевидно какие:
— выпало \(1\) очко;
— выпало \(2\) очка;
— выпало \(3\) очка;
— выпало \(4\) очка;
— выпало \(5\) очков;
— выпало \(6\) очков.

Всё, больше в норме ничего произойти не может (варианты «кубик завис в воздухе» или «кубик встал на ребро» не рассматриваем). Таким образом, всего у нас возможно \(6\) исходов (\(N=6\)). А какие из них подходят событию «при бросании кубика выпало не меньше \(5\) очков»? Понятно, что это исходы «выпало \(5\) очков» и «выпало \(6\) очков» (во всех остальных случаях очков меньше \(5\)). Значит нашему событию подходят \(2\) исхода (\(n = 2\)). Осталось вычислить: \(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\)\(=\)\(\frac{2}{6}\)\(=\)\(\frac{1}{3}\)\(=0,3333…\). И после округления до сотых имеем окончательный ответ: \(P(A)=0,33\).

Ответ: \(0,33\).

Пример (ЕГЭ). На экзамене \(60\) билетов, Андрей не выучил \(3\) из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение: Эксперимент тут – «Андрей тянет билет и смотрит выучил ли он его». Исходом является вытянутый билет, а всего их \(60\), значит и элементарных исходов столько же (\(N = 60\)). Если Андрей не выучил \(3\) билета, значит выучил \(60-3=57\). То есть, нам под событие «попадется выученный билет» подходит \(57\) билетов (\(n = 57\)). Вычисляем ответ:

\(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\)\(=\)\(\frac{57}{60}\)\(=\)\(\frac{19}{20}\)\(=0,95\)

Ответ: \(0,95\).

Внимание! При решении задач следите, чтобы эксперимент был обязательно равновероятным, иначе можно сделать ошибку! Например, в предыдущей задаче можно было рассуждать так: «возможны два исхода – либо попадется выученный билет, либо не выученный. Значит, вероятность равна \(\frac{1}{2}\), т.е

\(0,5\)». И это неверная логика, потому что исход «попался выученный билет» вероятнее, чем «попался невыученный» (выученных билетов больше), а значит формулу \(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\) применять НЕЛЬЗЯ (она только для равновероятных исходов). А с такой логикой можно получить и вероятность встретить динозавра на улице равной \(50\%\) (или встречу, или не встречу).

Разберем еще одну похожую задачку.

Пример (ЕГЭ). На олимпиаде по русскому языку \(250\) участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по \(120\) человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение: Вот тут можно подумать, что раз аудиторий три, а интересует нас только одна из них (запасная), значит и вероятность равна \(\frac{1}{3}\). Это неверно: в запасной аудитории олимпиаду писало \(250-120-120=10\) человек, то есть сильно меньше, чем в двух других. Значит, и вероятность попасть в нее была меньше. То есть, принимая в качестве исходов:
— случайный участник писал олимпиаду в первой аудитории;
— случайный участник писал олимпиаду во второй аудитории;
— случайный участник писал олимпиаду в запасной аудитории;
мы получаем не равновероятный эксперимент. Чтоб исходы стали равновероятны, в качестве них надо рассматривать не аудитории, а конкретные места – с первого по \(250\)-ое (потому что каждое отдельное место не имеет преимуществ перед другим, а значит равновероятно). И тогда получается, что нам подходит \(10\) мест из \(250\), значит искомая вероятность равна:

\(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\)\(=\)\(\frac{10}{250}\)\(=\)\(\frac{1}{25}\)\(=0,04\)

Ответ: \(0,04\).

Кстати, из формулы \(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\) становится очевидно, что:

Букмекеры

В азартных играх ради наживы или удовольствия делаются ставки на определенный результат или событие. Не в силах бороться с искушением, некоторые люди просаживают за игорным столом баснословные деньги. Кое-кому, правда, удается сорвать куш, но большинство, в конечном счете, остается в проигрыше. Вот почему игорным бизнесом промышляют отдельные люди, и целые компании ради прибыли, поступающей от клиентов. Букмекеры на скачках получают прибыль, предлагая на участников заезда ставки ниже (или выше) фактических. Скажем, если в забеге участвуют шесть абсолютно равных по силам гончих собак, шансы каждой из них на победу равны 1/6. Поэтому правильная ставка на каждого пса должна быть 5:1. Но букмекер предлагает только 4:1. Это значит, что поставивший на победителя получит обратно свои деньги плюс вчетверо больше. Если каждый из шести игроков поставит 100 фунтов на свою собаку, букмекер получит 600 фунтов. Какая бы из них ни победила, он выплатит только 500 фунтов, т. е. 100 фунтов ставки плюс еще 400, оставив в кармане лишнюю сотню.

Время находки

Для верного толкования приметы имеет значение, в какое время суток была найдена монета. Потому что это повлияет на результат предсказания.

• найти утром монету — говорит, что в скором времени вы смените привычное окружение, потому что проводить время со старыми друзьями станет неинтересно;
• найти в обед — знак, не предвещающий кардинальных жизненных перемен, все будет идти своим чередом;
• найти монету вечером — сулит грандиозные перемены, вскоре ваше мировосприятие и привычное времяпровождение необратимо изменятся;
• найти монету в ночное время — плохой знак, лучше не трогать находку и пройти мимо, в такой поздний час манипуляций с деньгами следует избегать.

Закономерности

Я подкинул монету 10 раз. В результате, орел выпал 7 раз, а решка выпала 3 раза. Получилась разница 7 — 3 = 4.

Я подкинул монету 100 раз. В результате, орел выпал 56 раз, а решка выпала 54 раза. Разница получилась еще больше 56 — 44 = 12.

Я подкинул монету 1000 раз. Теперь, наоборот, орлов выпало меньше, всего 485 раз. А решек выпало 515 раз. Разница стала еще больше, но со знаком минус, так как орлов теперь меньше: 485 — 515 = -30.

Где же закономерность?

Закономерность в том, что при увеличении числа подбрасываний монеты примерно в половине случаев выпадает орел, а в половине решка, и при этом относительное отклонение от половины стремится к нулю с
увеличением числа испытаний. Проверим это.

• 10 подбрасываний. 10:2=5. Абсолютные отклонения от 5: орлы 7-5=+2, решки 3-5=-2. Относительные отклонения от 5: орлы +2/5=+0.4, решки -2/5=-0.4.
• 100 подбрасываний. 100:2=50. Абсолютные отклонения от 50: орлы 56-50=+6, решки 44-50=-6. Относительные отклонения от 50: орлы +6/50=+0.12, решки -6/50=-0.12.
• 1000 подбрасываний. 1000:2=500. Абсолютные отклонения от 500: орлы 485-500=-15, решки 515-500=+15. Относительные отклонения от 500: орлы -15/500=-0.03, решки +15/500=+0.03.

Таким образом, относительное отклонение от половины резко уменьшается с ростом числа испытаний.

• 10 подбрасываний. Отклонение 40%.
• 100 подбрасываний. Отклонение 12%.
• 1000 подбрасываний. Отклонение 3%.

Вы можете провести свои испытания, и Вас получатся другие цифры. Но тенденция будет такая же.

Еще одна закономерность будет проявляться в том, что отклонений в пользу большего числа решек будет столько же, сколько отклонений в пользу большего числа орлов. Например, если проводить серию по 10
испытаний, то у меня получилось в первой серии, что орлов больше, чем решек. Но когда я провел 10 таких серий по 10 испытаний, то орлов было больше в семи сериях из 10 серий.

Затем я провел 100 серий по 10 бросаний в каждой. Теперь решек было больше в 55 серий, а орлов было больше в 45 сериях. Хотя по абсолютной величине не получается, чтобы в 50% всех серий было больше
отклонений в пользу решек, а в 50% всех серий в пользу орлов, но, тем не менее, относительная разница стремиться к нулю при увеличении числа серий испытаний.

Третья закономерность, это симметрия в отклонениях в пользу решек и в пользу орлов. Если делать много серий испытаний с одинаковыми длинами этих серий, то примерно сколько раз было больше в серии
орлов, столько же раз было больше и решек. И чем большее число серий сделать, тем относительная разница между большим выпадением орлов и большим выпадением решек будет стремиться к нулю.

Четвертая закономерность, это распределение отклонений от теоретического. Если провести большое число серий одинаковой длины с подбрасыванием монеты, то можно увидеть, что больше всего будет таких серий,
где отклонений от 50% не будет. Поменьше будет таких серий, где отклонений от 50% будет всего на единицу. Еще меньше будет серий, где отклонений от 50% будет на 2. И так далее. Чем больше отклонение от
теоретического выпадения 50% решек и 50% орлов, тем реже встречается серия подбрасываний с таким отклонением.

Относительная частота случайного события, это отношение количества случаев появления этого события M к общему числу проведенных испытаний N.

Эксперименты показывают, что при многократном повторении испытаний относительная частота M/N случайного события обладает некоторой устойчивостью. Эта устойчивость относительной частоты объясняется
существованием объективных свойств и закономерностей случайного события.

Способ 3. Формула Бернулли

Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет. Пусть бросается $n$ монет (или, что тоже самое, монета бросается $n$ раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз.

Так как броски монет — события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна $p=½=0.5$), то можно для вычисления вероятности применить формулу Бернулли: $$ P=P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^ = C_n^k cdot left(½
ight)^k cdot left(1−½
ight)^=C_n^k cdot left(½
ight)^n. $$

То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос «какова вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз из $n$» (запишем в трех эквивалентных видах, выбирайте удобный для себя): $$ P=C_n^k cdot left(½
ight)^n=frac<2^n>=C_n^k cdot 0.5^n, quad C_n^k=frac. $$

А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Подставляем $n=2, k=1$ и получаем $P=C_2^1 cdot left(½
ight)^2=2 cdot frac<1><4>=frac<1><2>=0.5.$

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Это уже третий способ решения задачи! Подставляем $n=4, k=2$ и $k=3$, получаем $$P=C_4^2 cdot left(½
ight)^4+C_4^3 cdot left(½
ight)^4=(6+4) cdot frac<1><16>=frac<10><16>=0.625.$$

Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Подставляем $n=3, k=0$ и получаем $P=C_3^0 cdot left(½
ight)^3=1 cdot frac<1><8>=frac<1><8>=0.125.$

Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.

Подставляем $n=8, k=7$ и $k=8$ и получаем $$P=C_8^8 cdot left(½
ight)^8+ C_8^7 cdot left(½
ight)^8=(1+8) cdot frac<1><256>=frac<9><256>=0.035.$$

Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь

В какое время была найдена монета

Все денежные приметы ревностно относятся ко времени суток:

Утренняя находка может прийтись очень кстати, если человек вышел из дома, плотно позавтракав

Голодного прохожего примета предостерегает от неосторожного шага, потому что он сулит вечно пустой кошелек. Событие, произошедшее в фазе зарождающейся луны, предсказывает тому, кто нашел деньги, неожиданную прибыль и стабильное пополнение семейного бюджета

Монетки, найденные где-то в обеденное время, сигнализируют людям, что кто-то рядом остро нуждается в помощи. Этим объектом может быть одинокий пожилой сосед или бездомное животное, живущее в подвале или подъезде многоэтажного здания.

После заката солнца или в ночное время никаких манипуляций с деньгами не производят. Согласно народной примете, их нельзя беспокоить в такое время. Перефразируя известную поговорку, можем утверждать, что «деньги любят ночную тишину».

Сложение и умножение вероятностей

Для вычисления вероятности сложного события используют вероятности более простых событий и математические действия над ними.

Когда вероятности надо складывать, а когда их надо умножать?

Правило очень простое. Если при формулировке задачи можно использовать союз «ИЛИ«, значит, вероятности надо складывать. Если при формулировке задачи можно использовать союз «И«, значит,
вероятности надо умножать. Посмотрим примеры с подбрасыванием 6-гранного кубика.

Какова вероятность того, что, при подбрасывании кубика, выпадет двойка или пятерка?

Используется союз «или». Значит, нужно сложить вероятность выпадения двойки с вероятностью выпадения пятерки.

P = 1/6 +1/6 = 1/3. То есть примерно треть всех подбрасываний кубиков будет приводить к тому, что выпадет или 2 или 5.

Какова вероятность того, что, при подбрасывании двух кубиков, на одном выпадет двойка, а на другом пятерка?

Можно эту задачу переформулировать через союз «и». Какова вероятность того, что, при подбрасывании двух кубиков, на одном выпадет двойка и на другом выпадет пятерка? (Союз «или» совершенно
неуместен.)

Значит, нужно перемножить вероятность выпадения двойки и вероятность выпадения пятерки.

P = 1/6 x 1/6 = 1/36. То есть примерно в каждом 36-м случае всех подбрасываний кубиков будет одновременно выскакивать 2 и 5.

Аналогичная задача с таким же решением. Какова вероятность того, что, при двух подбрасываниях одного и того же кубика, один раз выпадет двойка, а второй раз выпадет пятерка? Этот вопрос снова можно
переформулировать через союз «и» не меняя сути вопроса. Например, так. Какова вероятность того, что, при двух подбрасываниях одного и того же кубика, выпадет двойка и выпадет пятерка?

Теперь более сложный пример. Какова вероятность того, что, при подбрасывании двух кубиков, сумма очков будет равна четырем?

Сумма очков может быть равной 4, если или выпадает на каждом кубике по 2 очка, или если на одном кубике выпадает 1 очко, а на другом 3 очка. Переформулируем этот вопрос через наши союзы. Какова
вероятность того, что, при одновременном подбрасывании двух кубиков, на одном выпадет 2 и на другом выпадет 2 или на одном выпадет 1 и на другом выпадет 3?

Два союза «и» означает, что в формуле будет два умножения. Один союз «или» означает, что в формуле будет одно сложение. Вероятности складываются и умножаются как обычные числа. То есть, если нет скобок,
то сначала делается умножение, а потом сложение. Получаем

P = 1/6 x 1/6 + 1/6 x 1/6 = 1/18. То есть примерно в каждом 18-м случае сумма очков на двух кубиках будет равна 4.

Что значит примета – найти монетку

В мире, где многое покупается и продается, деньги играют важную роль. Кроме того, практикующие эзотерики считают, что этот современный фетиш обладает мощной энергетикой. Поэтому монеты используют не только в товарно-денежных отношениях, но и в магических ритуалах.

У каждого народа к приметам о найденных деньгах разное отношение. К примеру, для китайца, который нашел на улице монетку, это хорошее предзнаменование. Такую денежку он обязательно поднимет и будет хранить ее как талисман, который не только принесет ему удачу, но и поможет разбогатеть.

Европеец к аналогичному событию относится несколько иначе. Не каждый прохожий станет «кланяться» случайной монетке, поднимая ее с земли. Человек, не разбирающийся в суевериях, делает это не раздумывая. Однако многие люди, памятуя, что за деньгами водится плохая слава, не станут так поступать.

Поверье о найденной монете, орлом вверх или вниз

Не стоит при виде любой монетки сразу бросаться вниз и быстро класть ее в карман. Для начала стоит внимательно осмотреть деньги.

1. Монета, которая лежит гербом вверх — благоприятный знак. Такая находка предвещает успех. Везение может нагрянуть в любой сфере, как в профессиональной, так и в личной.
2. Если вы обнаружили монетку, которая лежит решкой вверх, стоит подумать, прежде чем подбирать деньги. Потому что в народе считают, что монета, лежащая таким образом — предвестник бед, способна навредить вновь испеченному хозяину. Есть риск, что деньги обладают плохой энергетикой или даже на них порча, которая негативно скажется на здоровье, финансах и любви. Легко забрать себе чье-то невезенье, а вот избавиться от этого будет крайне тяжело.
3. Если вы обнаружили монету, застрявшую ребром, такая находка имеет противоречивые трактовки. Люди, которые постоянно во всем сомневаются и неуверенные в себе, могут почувствовать угрозу для своего финансового и эмоционального благополучия. Но монета, найденная в таком положении, может иметь и противоположное, то есть положительное толкование. Все будет зависеть от того в каком настроении пребывал человек. Положительный настрой, предвещает положительные перемены.

Когда монеты находит состоятельный человек, который в них не нуждается, но он не в состоянии удержаться и поднимает монету. Чтобы избежать возможных негативных последствий, правильным решением будет отдать найденные деньги нуждающимся или пожертвовать церкви.

Орлом играй, да не заигрывайся

В обыденной жизни такое действие, как подбрасывание монеты, встречается довольно часто. Полагаясь на подсказку судьбы, человек доверяет себя теории вероятности, «генератору случайности». По сути, возможны только два варианта: орел (герб) или решка — номинальная сторона монеты.

Но ведь возможны и третьи, и четвертые варианты в реальной жизни. Поэтому азарт игры и нежелание взвешенно принимать решение толкает иногда людей на необдуманные поступки: как монета выпадет, а ведь в некоторых случаях человек может ошибиться и неправильно определить, где на монете решка, а где орел. Предсказание будет неверным.

Согласно математическим расчетам, чем больше количество бросков монеты, тем больше вероятность того, что число выпавших «орлов» будет стремиться к 50 процентам.

Поэтому лучшая подсказка судьбы — это обратиться за советом к мудрому человеку в случае надобности, не полагаясь на слепой случай и теорию больших чисел.

И в игре, и в бою: чудо-предсказание

Среди населения различных стран издавна известна азартная игра «Орля́нка».

Задача игры проста и в то же время всегда рассчитана на везение игроков, на то, чтобы испытать судьбу.

Монету любого значения (номинала) подбрасывают вверх и ловят, прикрывая ладонью другой руки. Кто угадал, какая сторона выпадет наверху, тот и выигрывает.

Также монету подбрасывают, когда возникает спорный вопрос: говорят, орел или решка, загадывая решение под выпавший случайным образом аверс или реверс.

Подобным образом иногда проводят жеребьевку при проведении различных состязаний, к примеру перед началом футбольного матча.

Монету подбрасывает судья, определяя команду, которая будет вводить мяч в игру.

Орел или решка чаще выигрывают?

Они обнаружили, что монета имеет 51-процентный шанс приземлиться на той стороне, с которой она стартовала. Таким образом, если выпадет решка, вероятность того, что монета выпадет, несколько выше. выпадет орел, а не решка. Когда дело доходит до этого, шансы не сильно отличаются от 50-50.

Каковы шансы получить четыре решки подряд? Вывод: вероятность выпадения решки 4 раза подряд при подбрасывании монеты равна 1/16.

Какова вероятность того, что выпадет 3 монеты?

Решение: когда подбрасываются 3 монеты, возможные результаты: HHH, TTT, HTT, THT, TTH, THH, HTH, HHT. (i) Пусть E₁ обозначает событие получения всех решек. Следовательно, искомая вероятность равна ⅛.

Сколько исходов возможно, если мы подбросим монету 10 раз? Сколько различных последовательностей выпадения орла и решки возможно, если подбросить монету 10 раз? Ответ Поскольку при каждом подбрасывании монеты может быть 2 исхода (орел или решка), то 2·2·… 2 = 210 = 1024 ≈ 1000 возможных исходов из 10 бросков монеты.

Иллюзия контроля

Что заставляет трейдера поддаться этому когнитивному искажению? Иллюзия контроля, особенно часто возникающая при гипнотизировании графиков. Трейдеры, склонные неотрывно следить за хаотическими колебаниями цен, часто начинают торговать не по системе, а «по рынку». К сожалению, рынок жесток и непредсказуем, и поддавшиеся иллюзии контроля трейдеры совершают ту самую «ошибку игрока»: видят закономерности там, где их нет.

Эффект этого когнитивного искажения усиливается, когда трейдер особенно сильно заинтересован в положительном результате: он выискивает сигналы (включая внебиржевые новости), которые якобы подтверждают его выводы о поведении тренда.

А что в среднем?

Когда мы говорим о пятидесятипроцентной вероятности того, что что-то произойдет, мы имеем в виду, что это событие происходит в среднем в 50 случаях из 100. Но результаты даже нескольких несложных опытов могут говорить об обратном. Возьмем крайний случай. Подбросив монету всего один раз, мы получим либо стопроцентного «орла», либо стопроцентную «решку». Но, подбрасывая монету достаточно много раз, мы увидим, что процент «орлов» приближается к пятидесяти. Кое-кто ошибочно полагает, что этот факт помогает предвидеть события, зависящие исключительно от воли случая. Скажем, если «орел» выпал четыре раза подряд, то в очередной раз монета, скорее всего, упадет «решкой» вверх. Причина якобы в том, что ради сохранения золотой пятидесятипроцентной середины «решка» просто необходима. На самом же деле в длинном ряду событий вряд ли найдется такая точка, где соотношение «орлов» и «решек» равнялось бы точно пятидесяти процентам, и речь идет только о цифре, вокруг которой оно будет колебаться. Но между расчетным и фактическим количеством «орлов» и «решек» обычно всегда есть небольшое расхождение. К примеру, четыре лишних «орла» в ряду из 1000 подбрасываний (502 «орла», 498 «решек») дадут результат очень близкий к пятидесяти процентам прогностических «орлов», который и будет рассматриваться как подтверждение расчетов. Правило же в том, что результат одного случайного события подобного типа не влияет на результат следующего. Такие события называют независимыми.

Не все события независимы. Например, шанс вытянуть карту красной масти из обычной колоды в 52 листа равен пятидесяти процентам. Однако после этого в вашей колоде останется 25 красных карт из 51. Поэтому шанс вытянуть следующую красную карту составит теперь 25/51 или около сорока девяти процентов. Разумеется, если вынутую карту каждый раз возвращать в колоду, то шанс вытянуть карту любого цвета всегда будет равен пятидесяти процентам. В некоторых карточных играх опытные игроки могут постоянно выигрывать, цепко держа в памяти сброшенные карты и оценивая шансы появления у них или у партнеров нужных им карт.

Сложение пересекающихся событий

Если есть событие A и событие B, то в общем случае вероятность наступления события A или события B определяется формулой

P{A+B} = P{A} + P{B} — P{AB}.

Здесь P{AB} — вероятность одновременного события A и B.

Например, пусть событие A, это выпадение четного числа очков при подбрасывания кубика, а B, это выпадение маленького числа очков, то есть 1, 2 или 3 очка. Вероятность выпадения четного числа
P{A}=1/2. Вероятность выпадения маленького числа очков P{B}=1/2. Нужно найти вероятность выпадения или четного числа очков или маленького числа очков.

Просто сложить эти две вероятности нельзя, так как эти два события совместимы. Если выпадет двойка, то значит, что одновременно выпало и четное число очков, и маленькое число очков. Поэтому при простом
сложении вероятностей будет дважды учтена вероятность выпадения двойки. Значит, нужно от простой суммы вероятностей отнять вероятность одновременного события. Вероятность выпадения двойки P{AB}=1/6.
Итак

P{A+B} = 1/2 + 1/2 — 1/6 = 5/6.

Классическое определение вероятности

Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О — выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем $n=4$. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию «орел выпадет ровно один раз», это комбинации ОР и РО и их ровно $m=2$. Тогда искомая вероятность равна $P=2/4=½=0.5$. Готово!

Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, $n=4$. А вот условию «оба раза выпала одна сторона» удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/4=½=0.5$.

Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.

Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже $n=8$ (кстати, они находятся по формуле $n=2^k$, где $k$ — число бросков монеты).

Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет $m=3$. Тогда вероятность события $P=m/n=3/8=0.375$.

Взяли разгон и переходим к 4 монетам.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Приступаем к вычислению. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться $n=2^4=16$ штук! Вот они: OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP, POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO, их будет $m=10$. Тогда вероятность равна $P=m/n=10/16=5/8=0.625$.

Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2−3−4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.