Как найти площадь сферы
Запомните!
Формула площади сферы:
S = 4π
R 2
Для того, чтобы найти площадь сферы, необходимо вспомнить,
что такое степень числа .
Зная определение степени,
можно записать формулу площади сферы следующим образом. S = 4π
R 2 =
4π
R · R;
Закрепим полученные знания и решим задачу на площадь сферы.
Зубарева 6 класс. Номер 692(а)
Условие задачи:
-
Вычислите площадь сферы, если её радиус равен
1 =
3 ·
=
=
/ (4 · 3)
= ) =
= ) =
= =
=88 = 1
- R 3 = 1
- R = 1 м
Важно!
Уважаемые родители!
При окончательном расчете радиуса
не надо заставлять ребенка считать кубический корень. Учащиеся
6-го класса еще не проходили и не знают определение корней в математике.
В 6 классе при решении такой задачи используйте метод перебора.
Спросите ученика, какое число, если его умножить 3 раза на самого себя даст
единицу.
Сфера и шар – это аналог круга и окружности в трехмерном пространстве. Стоит поговорить о каждой из этих фигур, выделить сходства и различия, а так же формулы, свойственные этим фигурам.
Большая часть геометрических построений производится в плоскости, но в старших классах начинают изучать трехмерные фигуры. Двухмерное пространство имеет только две характеристики: длину и ширину. В трехмерных областях добавляется высота. В математике 6 класса изучаются отдельные 3д фигуры.
На плоскости фигуру характеризовала площадь и периметр. В трехмерных объектах к ним прибавляется объем.
Рис. 1. Трехмерное пространство.
Кроме того, имеется ряд специфических свойств 3д фигур. Их может пересекать прямая и плоскость, могут имеется секущие плоскости, которые принимают формы других фигур.
Применение 3д фигур для составления задач значительно усложняет их, но в то же время делает куда более интересными. Приведем определения шара и сферы, после чего попробуем выделить различия этих фигур.
Формулы исчисления объёма шара и площади его поверхности
Шар образуется при вращении вокруг неподвижного диаметра полукруга или круга. Для вычислений разных параметров данного объекта понадобится не так уж много данных.
Объем шара, формула для исчисления которого указана выше, выведен посредством интегрирования. Разберемся по пунктам.
Рассматриваем круг в двумерной плоскости, ведь, как было сказано выше, именно круг лежит в основе построения шара. Используем лишь его четвертую часть (рисунок 10).
Берем круг с единичным радиусом и центром в начале координат. Уравнение такого круга выглядит следующим образом: Х2 + У2 = R2. Выражаем отсюда У: У2 = R2 — Х2.
Обязательно отметим, что полученная функция неотрицательная, непрерывная и убывающая на отрезке Х (0; R), ведь значение Х в том случае, когда мы рассматриваем четверть круга, лежит от нуля до значения радиуса, то есть до единицы.
Следующее, что мы делаем, это вращаем нашу четверть круга вокруг оси абсцисс. В результате мы получим полушар. Чтобы определить его объём, прибегнем к методам интегрирования.
Так как это объём лишь полушара, увеличиваем результат в два раза, откуда получаем, что объем шара равен:
Слайды и текст этой презентации
СФЕРА
Геометрия 11 класс
тема: Объем шара и площадь сферы
Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства,
расположенных на данном расстоянии (R)
от данной точки (C).
Центр сферы (С)
Радиус сферы (R)
Диаметр сферы (d=2R)
Шар – это тело, ограниченное сферой.
Центр шара (С)
Радиус шара (R)
Диаметр шара (d=2R)
Объём шара, шарового сегмента и шарового слоя
Vшара= 4/3ПR3
Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.
Шаровой слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.
Vш. Сегмента = Пh2(R- 1/3h)
Vш. слоя=Vш.сег.1-Vш.сег.2
Основание сегмента
Высота сегмента (h)
Объём шарового сектора
Vш. сектора= 2/3ПR2h
Шаровой сектор – это тело, полученное вращением кругового сектора, с углом, меньшим 90о,
вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.
Шаровой сектор состоит из шарового сегмента
и конуса.
Площадь сферы
Sсферы= 4ПR2
В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на
.
Решение.
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра:
Тогда объем шара
.Ответ: 4,5.
ЕГЭ: В11
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
Решение.
Объем шара радиуса
равен
При увеличении радиуса втрое, объем шара увеличится в 27 раз. Ответ: 27.
В11
Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Решение.
Из условия
найдем, что радиус такого шара
Ответ: 10.
В11
Около куба с ребром
описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на
Решение.
Радиус описанного шара равен половине диагонали куба:
.Поэтому объем шара равен
Тогда
Ответ: 4,5.
В11
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Решение.
Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус
как
, а площадь поверхности сферы – как 4ПR2. Видно, что площадь поверхности шара в
раза больше площади поверхности большого круга. Ответ: 12.
В11
Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
Решение.
Площадь поверхности шара выражается через его радиус
как
, поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в
Ответ: 4.
раза.
В11
Объем шара равен 288
Найдите площадь его поверхности, деленную на
Решение.
Объем шара радиуса
, откуда
Площадь его поверхности:
Ответ: 144.
В11
Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Решение.
По построению радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь цилиндра, описанного вокруг шара радиусом
равна
Площадь поверхности шара радиусом
равна
, то есть в 1,5 раза меньше первой. Площадь поверхности шара тогда равна 12. Ответ: 12.
В11
Использованы задачи с сайта Дмитрия Гущина Решу ЕГЭ http://reshuege.ru/
Пример нахождения объёма шара
Задача:
Найти объем шара радиусом сантиметров.
Решение:
Для того чтобы вычислить объем шара формула используется следующая:
где – искомый объем шара, – , – радиус.
Таким образом, при радиусе сантиметров объем шара равен:
В геометрии шар определяется как некое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, которые располагаются от центра на расстоянии, не более заданного, называемого радиусом шара. Поверхность шара именуется сферой, а сам он образуется путем вращения полукруга около его диаметра, остающегося неподвижным.
С этим геометрическим телом очень часто сталкиваются инженеры-конструкторы и архитекторы, которым часто приходится вычислять объем шара. Скажем, в конструкции передней подвески подавляющего большинства современных автомобилей используются так называемые шаровые опоры, в которых, как нетрудно догадаться из самого названия, одними из основных элементов являются именно шары. С их помощью происходит соединение ступиц управляемых колес и рычагов. От того, насколько правильно будет вычислен их объем, во многом зависит не только долговечность этих узлов и правильность их работы, но и безопасность движения.
В технике широчайшее распространение получили такие детали, как шариковые подшипники, с помощью которых происходит крепление осей в неподвижных частях различных узлов и агрегатов и обеспечивается их вращение. Следует заметить, что при их расчете конструкторам требуется найти объем шара (а точнее – шаров, помещаемых в обойму) с высокой степенью точности. Что касается изготовления металлических шариков для подшипников, то они производятся из металлической проволоки при помощи сложного технологического процесса, включающего в себя стадии формовки, закалки, грубой шлифовки, чистовой притирки и очистки. Кстати говоря, те шарики, которые входят в конструкцию всех шариковых ручек, изготавливаются по точно такой же технологии.
Достаточно часто шары используются и в архитектуре, причем там они чаще всего являются декоративными элементами зданий и других сооружений. В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую требует больших затрат ручного труда. Конечно, соблюдать столь высокую точность изготовления этих шаров, как тех, которые применяются в различных агрегатах и механизмах, не требуется.
Без шаров немыслима такая интересная и популярная игра, как бильярд. Для их производства используются различные материалы (кость, камень, металл, пластмассы) и используются различные технологические процессы. Одним из основных требований, предъявляемых к бильярдным шарам, является их высокая прочность и способность выдерживать высокие механические нагрузки (прежде всего, ударные). Кроме того, их поверхность должна представлять собой точную сферу для того, чтобы обеспечивалось плавное и ровное качение по поверхности бильярдных столов.
Наконец, без таких геометрических тел, как шары, не обходится ни одна новогодняя или рождественская елка
Изготавливаются эти украшения в большинстве случаев из стекла методом выдувания, и при их производстве наибольшее внимание уделяется не точности размеров, а эстетичности изделий. Технологический процесс при этом практически полностью автоматизирован и вручную елочные шары только упаковываются
Таблица кубатурник доски, сколько доски в кубе
Доска обрезная | Доска строганная
| Наименование | Размеры | Кол-во штук в одном м3 | Кол-во погонных метров в одном м3 |
| Доска обрезная / строганная | 25х100х2000 | 200 | 400 |
| Доска обрезная / строганная | 25х100х4000 | 100 | 400 |
| Доска обрезная / строганная | 25х100х6000 | 66 | 396 |
| Доска обрезная / строганная | 25х150х2000 | 133 | 266 |
| Доска обрезная / строганная | 25х150х4000 | 66 | 264 |
| Доска обрезная / строганная | 25х150х6000 | 44 | 264 |
| Доска обрезная / строганная | 25х200х2000 | 100 | 200 |
| Доска обрезная / строганная | 25х200х4000 | 50 | 200 |
| Доска обрезная / строганная | 25х200х6000 | 33 | 198 |
| Доска обрезная / строганная | 40х100х2000 | 125 | 250 |
| Доска обрезная / строганная | 40х100х4000 | 62 | 248 |
| Доска обрезная / строганная | 40х100х6000 | 41 | 246 |
| Доска обрезная / строганная | 40х150х2000 | 83 | 166 |
| Доска обрезная / строганная | 40х150х4000 | 41 | 164 |
| Доска обрезная / строганная | 40х150х6000 | 27 | 162 |
| Доска обрезная / строганная | 40х200х2000 | 62 | 124 |
| Доска обрезная / строганная | 40х200х4000 | 31 | 124 |
| Доска обрезная / строганная | 40х200х6000 | 20 | 120 |
| Доска обрезная / строганная | 50х100х2000 | 100 | 200 |
| Доска обрезная / строганная | 50х100х4000 | 50 | 200 |
| Доска обрезная / строганная | 50х100х6000 | 33 | 198 |
| Доска обрезная / строганная | 50х150х2000 | 66 | 132 |
| Доска обрезная / строганная | 50х150х4000 | 33 | 132 |
| Доска обрезная / строганная | 50х150х6000 | 22 | 132 |
| Доска обрезная / строганная | 50х200х2000 | 50 | 100 |
| Доска обрезная / строганная | 50х200х4000 | 25 | 100 |
| Доска обрезная / строганная | 50х200х6000 | 16 | 96 |
В чем различие
Тогда возникает вопрос, а чем отличается шар от сферы кроме определения? Дело в том, что различия шара и сферы куда более размыты, нежели различия круга и окружности. Сфера так же имеет объем и площадь поверхности.
Пожалуй, кроме определения, разница заключается в том, что в задачах никогда не находят объем сферы. Как правило, ищут объем шара. Это не значит, что у сферы нет объема. Это трехмерная фигура, поэтому объем у нее есть.
Просто проводится аналогия с окружностью, у которой нет площади. Это не правило, но скорее традиция, которую нужно запомнить: в геометрии не приветствуется формулировка объем сферы.
Еще одно отличие, которое можно считать более или менее значимым: секущая плоскость сферы: окружность, которая не имеет внутреннего пространства, но имеет длину. Секущая плоскость шара: круг, который имеет площадь и не имеет длины окружности. Поэтому стоит быть аккуратным в формулировках задачи, чтобы не было ошибок из-за подобных мелочей.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое сфера и шар. Поговорили об их сходствах и различии. Узнали, что различий у этих фигур почти нет. Решили, что не стоит приводить такую формулировку, как объем сферы.
-
/10
Вопрос 1 из 10
Сферическая геометрия
Большой круг на сфере
Основными элементами геометрии евклидовой плоскости являются точки и линии . На сфере точки определяются в обычном смысле. Аналог «линии» — геодезическая , представляющая собой большой круг ; Определяющей характеристикой большого круга является то, что плоскость, содержащая все его точки, также проходит через центр сферы. Измерение по длине дуги показывает, что кратчайший путь между двумя точками, лежащими на сфере, — это более короткий сегмент большого круга, который включает эти точки.
Многие теоремы классической геометрии верны и для сферической геометрии, но не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым постулатам классической геометрии , включая постулат параллельности . В сферической тригонометрии , углы определяются между большими кругами. Сферическая тригонометрия во многом отличается от обычной тригонометрии . Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Кроме того, любые два подобных сферических треугольника конгруэнтны.
Касательная плоскость к сфере
Плос-ть, имеющая со сферой строго одну общую точку, именуется касательной плоскостью к сфере.
Действительно, если плос-ть касается окруж-ти, то точка касания А должна располагаться на расстоянии R от центра сферы О, где R– радиус сферы. Все остальные точки касательной плос-ти находятся вне пределов сферы, то есть должны находиться от О на расстоянии, превышающем R. Это значит, что отрезок ОА должен быть кратчайшим отрезком, соединяющим О и касательную плос-ть. Но мы знаем, что кратчайший отрезок между плос-тью и точкой – это как раз перпендикуляр, опущенный из точки на плос-ть.
Справедливо и обратное утверждение:
Доказательство. Если радиус ОА – перпендикуляр к плос-ти α, то он является кратчайшим расстоянием между плос-тью и центром О. Тогда все остальные точки плос-ти располагаются на большем расстоянии от О, чем точка А. Это значит, что они не располагаются на сфере. Значит, у сферы и плос-ти α одна общая точка А, а потому α по определению – касательная плос-ть.
По аналогии с касательной плос-тью существует понятие касательной прямой к сфере.
Касательная к сфере обладает почти теми же свойствами, что и касательная к окруж-ти.
Доказательство. Пусть m– касательная прямая к сфере с центром О. обозначим точку касания как А. Далее через прямую m и центр О проведем плос-ть α. Нам надо показать, что ОА⊥m:
Плос-ть α будет диаметральной плос-тью. Сечение будет иметь форму окруж-ти с центром О и радиусом ОА. Прямая m будет касательной к этой окруж-ти, ведь она имеет с ней общую точку А, а второй общей точки m и окруж-ть иметь не могут, ведь такая бы точка была бы также общей для m и сферы, а m по определению имеет лишь одну общую точку со сферой. Напомним, что касательная к окруж-ти перпендикулярна радиусу, то есть m⊥ОА, ч. т. д.
Будет верным и обратное утверждение:
Для доказательства используем ту же картинку. Известно, что m⊥ОА, надо показать, что m– касательная к сфере. Проведем через пересекающиеся прямые m и ОА плос-ть α. Она снова окажется диаметральной плоскостью, и снова сечением будут окруж-ть с радиусом ОА. По признаку касательной, который мы изучали в планиметрии, m– касательная к этой окруж-ти, ведь m⊥ОА. То есть в плос-ти α есть лишь одна общая точка m и сферы. В других плос-тях у них не может быть общих точек, так как m полностью принадлежит α. В итоге у m и сферы только одна общая точка, а потому m– касательная к сфере, ч. т. д.
Рассмотрим ещё одно утверждение:
Сначала разберемся с понятием отрезков касательных. Пусть из точки А, лежащей вне сферы, к ней проведены две касательные, а точки касания обозначены буквами В и С. Тогда АВ и АС как раз и будут отрезками касательных:
Докажем, что эти отрезки одинаковы. Для этого к точкам касания проведем радиусы ОВ и ОС. Теперь сравним ∆АВО и ∆АСО. Они прямоугольные, ведь ОВ⊥АВ по свойству касательной, и ОС⊥АС. Гипотенуза АО у этих треугольников общая, а катеты ОВ и ОС – это одинаковые радиусы. Получается, что ∆АВО и ∆АСО равны, а потому отрезки АВ и АС одинаковы.
Задание. Дан шар радиусом 10 см, к которому проведена касательная плос-ть α. Через точку касания проведена секущая плос-ть β, образующая с α угол в 30°. Вычислите площадь сечения шара плос-тью β.
Решение. Обозначим точку касания как А. Опустим из центра сферы о перпендикуляр ОН на плос-ть β. Тогда отрезок АН будет радиусом сечения. Так как угол между плос-тями α и β составляет 30° (на рисунке он показан как ∠НАС), то
Ответ: 25π см2.
Задание. Некоторое тело представляет собой шар, внутри которого есть полость, также имеющая форму шара, причем центры этих шаров совпадают. Докажите, что площадь сечения этого тела, проходящего через центр шаров, совпадает с площадью сечения, являющегося касательной к внутреннему шару.
Решение. Обозначим радиус большей сферы как R, а радиус меньшей (внутренней сферы) как r. Площадь центрального сечения в виде кольца (показано синим цветом) представляет собой разницу между площадью большого круга с радиусом R и малого с радиусом r:
Задание. Сфера радиусом 5 см касается каждой стороны треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см. Каково расстояние между центром этой сферы и плос-тью треугольника?
Решение. Обозначим вершины треугольника точками А, В и С. Пусть
AB = 13
AC = 14
BC = 15
Заметим, что плос-ть АВС – секущая, а само сечение имеет форму окруж-ти. Эта окруж-ть будет касаться сторон ∆АВС, то есть она является вписанной окруж-тью. Как вычислить ее радиус НK?
Напомним одну из формул для расчета площади треугольника:
Площадь ∆АВС можно найти по формуле Герона. Предварительно найдем полупериметр ∆АВС:
Резюме
И шар, и сфера являются абстрактными геометрическими объектами (геометрическими фигурами), задаваемыми через некоторое геометрическое место точек пространства — например, с помощью понятия центра шара/сферы и радиуса шара/сферы. Однако только шар является полноценным геометрическим телом, поскольку включает в себя не только описание ограничивающей его поверхности, но и всей той части пространства, что в себя эта поверхность заключает. С такой точки зрения сфера — лишь внешняя абстрактная граница (поверхность) задаваемого в пространстве шара.
Символ шара-глобальность шара Земли. Символ будущего, он отличается от креста тем, что последний олицетворяет собой страдание и человеческую смерть. В Древнем Египте впервые пришли к заключению, что земля шарообразна. Это предположение послужило основой для многочисленных размышлений о бессмертии земли и возможности бессмертия населяющих ее живых организмах.
Данная точка (О) называется центром сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы (R-радиус сферы). Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2R.
Определение шара Шар – это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (или фигура, ограниченная сферой). Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Шар
Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью.Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы — большой окружностью.Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы — большой окружностью.
X²+y²=R²-d² Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.»>
R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.»>
R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.» title=»x²+y²=R²-d² Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.»>
title=»x²+y²=R²-d² Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.»>
Касательная плоскость к сфере касательной плоскостью к сфереПлоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, точкой касания А плоскости и сферы.а их общая точка называется точкой касания А плоскости и сферы.
Теорема: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Рассмотрим плоскость α, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА перпендикулярен α. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости α, и, следовательно расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это противоречит тому, что-касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что ОА перпендикулярен α.
Определение.
Сфера
поверхность шара
центром сферы
Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение.
Шар
центром шара
Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение.
Радиус сферы (шара)
(R) — это расстояние от центра сферы (шара) O
к любой точке сферы (поверхности шара).
Определение.
Диаметр сферы (шара)
(D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.
Формула.
Объём шара
:
| V = | 4 | π R 3 = |
1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Формула.
Площадь поверхности сферы
через радиус или диаметр:
S = 4π
R 2 = π
D 2
Занимательные факты
Это интересно:
- У числа «пи» есть собственные фан-клубы по всему миру. Члены общества пытаются запомнить как можно больше знаков из этого числа, а также пытаются разгадать вселенские тайны, сокрытые в числе.
- Площадь суши Земли составляет всего 29,2 % от её общей поверхности. Точное число площади сложно назвать из-за неравномерного рельефа Земли, такие как впадины и горы.
- Знания о формуле площади шара можно применять и в быту. Также этими знаниями можно подавлять соперника в споре.
Продемонстрировав объём своих знаний в области геометрии, можно изначально заставить вас уважать, а ремонтникам и продавцам можно дать понять, что вас просто так не обмануть.
Геометрия. 11 класс
Конспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок №14. Объем шара и его частей
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.
Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.
Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.
Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.
Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.
Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями
Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями
Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.
Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы
Объем шара равен
Объем шарового сегмента равен
Объем шарового сектора равен
Объем шарового слоя равен
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.
№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.
Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.
Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.
По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна
Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле
Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Определение.
Касательная к сфере
— это прямая, которая касается сферы только в одной точке.
Определение.
Касательная плоскость к сфере
— это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.
Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения
Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение.
Сегмент шара
— это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента
называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента
h
называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Формула.
Площадь внешней поверхности сегмента сферы
с высотой h
через радиус сферы R:
S = 2π
Rh
Мы даем здесь очень простой, хотя и не совсем строгий вывод формулы для площади сферической поверхности; по своей идее он очень близок к методам интегрального исчисления. Итак, пусть дан некоторый шар радиуса R. Выделим на его поверхности какую-либо малую область (рис. 412) и рассмотрим пирамиду или конус с вершиной в центре шара О, имеющие эту область своим основанием; строго говоря, мы лишь условно говорим о конусе или пирамиде, так как основание не плоское, а сферическое. Но при малых размерах основания по сравнению с радиусом шара оно будет весьма мало отличаться от плоского (так, например, при измерении не очень большого земельного участка пренебрегают тем, что он лежит не на плоскости, а на сфере).
Тогда, обозначая через площадь этого участка — основание «пирамиды», найдем ее объем как произведение одной трети высоты на площадь основания (высотой служит радиус шара):
Если теперь всю поверхность шара разложить на очень большое число N таких малых областей , тем самым объем шара на N объемов «пирамид», имеющих эти области своими основаниями, то весь объем представится суммой
где последняя сумма равна полной поверхности шара:
Итак, объем шара равен одной трети произведения его радиуса на площадь поверхности. Отсюда для площади поверхности имеем формулу
Последний результат формулируется так:
Площадь поверхности шара равна учетверенной площади его большого круга.
Приведенный вывод пригоден и для площади поверхности сектора шара (имеем в виду только основание, т. е. сферическую поверхность, или «шапочки»; см. рис. 409). И в этом случае объем сектора равен одной трети произведения радиуса шара на площадь его сферического основания:
откуда находим для площади шапочки формулу
Шаровым поясом (см. рис. 408) называют сферическую поверхность шарового слоя. Чтобы вычислить площадь поверхности шарового пояса, находим разность поверхностей двух сферических шапочек:
где — высота слоя. Итак, площадь поверхности шарового пояса для данного шара зависит только от высоты соответствующего слоя, но не от его положения на шаре.
Задача. Боковая поверхность конуса, описанного вокруг шара, имеет площадь, равную полуторной площади поверхности шара. Найти высоту конуса, если радиус шара равен .
Решение. Введем для удобства угол а между высотой и образующей конуса (рис. 413). Найдем для высоты, радиуса основания и образующей конуса выражения
Определение шара
Шаром
называют множество точек, удаленных от произвольно выбранной точки (центра шара) на расстояние не превышающее R R
R
— радиус этого шара.
